伽羅瓦聯絡格的特性

李小光

(西安航空學院 理學院，陜西 西安 710077)

對于任意偏序集P,Q，f是P→Q的一個反序映射，如果存在一個反序g:Q→P，對于?a∈P,x∈Q,滿足g(f(a))≥a且f(g(x))≥x，則f就稱為伽羅瓦聯絡[1]。Γ(P,Q)是P→Q的所有伽羅瓦聯絡形成的集合，在逐點序的條件下是偏序集合。

對于?a∈P,x∈Q,令fa,gx:P→Q,且

如果P,Q是非平凡的，a→fa，x→gx是分別同構于P和Q到Γ(P,Q)上的完備子格。即任何完備格P,Q，滿足f:P→Q,則f是伽羅瓦聯絡等價于f是一個完備交聯合同態，對于?S?P,有f(supPS)=infQf(S)。

1 集合Γ(P,Q)的代數性質

設?a∈L是上確界，若L中的任何一個元素都是L中緊元集合的上確界，稱L是代數格。

定理1 令P,Q是非平凡代數格，P具有無限交分配性，則Γ(P,Q)是一個代數格。

c=fcα(α)≤(supG)(α)=

(1)

(2)

因此，α≤∨{t1∧t2∧…∧tn|t=(t1,t2,…,tn)∈T1×T2×…×Tn}

(3)

(4)

注：定理1的逆定理不成立，也就是說，P,Q不具有代數性，Γ(P,Q)也可以具有代數性。

例1 令P={0}，Q=[0,1]，在實數域R上的單位閉區間上考慮序關系，由于0

若f：P→Q，f是任一伽羅瓦聯絡，則f(0)=1，因此Γ(P,Q)僅有一個元素。

例2 令P={0}，Q=[0,1]，Γ(P,Q)具有代數性，即Γ(P,Q)同構于Γ(Q,P)，并且Q不具有代數性。

定理2 令P,Q是非平凡的代數格，P具有無限交的分配性，若1∈P是緊的，c∈Q，則c是緊的等價于gc?Γ(Q,P)是緊的，這里gc:P→Q，

證明： 因為xgx同構于Q到完備子格Q′,Q′?Γ(P,Q)。若Γ(P,Q)中的gc是緊的，則Q′中的gc也是緊的。因此，c∈Q也是緊的。相反地，假設c∈Q也是緊的，令G?Γ(P,Q)，滿足。那么由于c是緊的，P中存在子集S1,S2,…,Sn，滿足這里同時，由于1是緊的，存在有限子集T1,T2,…,Tn，滿足Ti?那么，令T={t1∧t2∧…∧tn|ti∈Ti,1≤i≤n}，由于Ti,T都是有限的，因此這里t∈T。由于c是緊的，存在一個有限子集Gt?G,t∈T，滿足令是有限的,F?G。令0≠a∈P,則所以這樣gc是緊的。

2 Γ(P,Q)的分配性和模的性質[3-7]

設L是格，?a,b,c∈L,a≤c,若a∨(b∧c)=(a∨b)∧c，則稱L是具有模的性質(簡稱“是模的”)。

在代數格中任取x,y，對于任意緊元素c≤x，則x≤y等價于c≤y。

定理3[3-5]令Q是代數格，P是完備格且具有無限交分配性，則Γ(P,Q)是模的當且僅當Q是模的。

證明：設Q是模的，令f,g,h∈Γ(P,Q)，f≤h，顯然f∨(g∧h)≤(f∨g)∧h。令a∈P,c∈Q是緊的，滿足c≤[(f∨g)∧h](a)，則c≤(f∨g)(a)，c≤h(a)。即

(f∨(g∧h))(a)

可得c≤(f∨(g∧h))(a)，對于?a∈P,[(f∨g)∧h](a)≤[f∨(g∨h)](a)，所以[(f∨g)∧h]≤[f∨(g∨h)]，這樣Γ(P,Q)是模的。相反地，假設Γ(P,Q)是模的，由于完備子格Q在Γ(P,Q)中是嵌入的，可知Q也是模的。

定理4[6-8]令P是完備的，滿足無限交分配性，Q是代數格，則Γ(P,Q)是分配的當且僅當Q是分配的。

證明：假設Q是分配格，f,g,h∈Γ(P,Q)，可知，f∨(g∧h)≤(f∨g)∧(f∨h)。

由式(2)，式(4)知

由式(1)，式(3)可得

(f∨(g∧h))(a)

≥c∧c=c。并且當a∈P時，((f∨g)∧(f∨h))(a)≤(f∨(g∧h))(a)。因此，

(f∨g)∧(f∨h)≤f∨(g∧h)，這樣Γ(P,Q)是分配格。相反地，假設Γ(P,Q)是分配格，由于Q是完備子格嵌入Γ(P,Q)中，我們可知Q是分配的。

同理可得下面的定理。

定理5 令P是完備格，具有無限交分配性，Q是代數格，則Γ(P,Q)具有無限交分配性當且僅當Q具有無限交分配性。

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