基于分位數(shù)概率分布的動態(tài)VaR模型及其應(yīng)用

楊 杰，張紹宗

（1.華南師范大學 經(jīng)濟與管理學院，廣州 510006；2.云南師范大學 經(jīng)濟與管理學院，昆明 650092）

1 VaR的估計方法

VaR的常見估計方法有歷史模擬法、蒙特卡洛模擬法和參數(shù)法，實踐中采用較多的是參數(shù)法，其核心思想是設(shè)定金融資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的收益率服從特定的參數(shù)分布，再通過實際數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，進而確定出收益率的具體分布。最后計算對應(yīng)置信水平的分位數(shù)，從解出相應(yīng)的VaR值。由于金融資產(chǎn)的收益序列常常具有尖峰厚尾的特征，因而采用參數(shù)法計算VaR時需要確定合適的概率分布來刻畫這種特征，國內(nèi)外很多學者正是沿著這一思路在估計金融資產(chǎn)的VaR值。如，Press S.在1987年提出用混合高斯分布來擬合道瓊斯指數(shù)的效果比正態(tài)分布的擬合效果要好；R.N.Mantegna和H.E.Stanley（1994,1995）首次提出截斷Levy分布，并將其用于美國股票和債券市場收益率的尾部擬合，實證研究顯示截斷Levy分布可以刻畫其厚尾特征；Peter Verhoeven等（2004）用非對稱t分布、非對稱一般誤差分布（GED）等六種分布形式代替正態(tài)分布，用于表述歐元對美元的匯率變動分布，結(jié)果表明，在描述序列的偏度、峰度以及極大似然函數(shù)值方面，前者均優(yōu)于后者。國內(nèi)學者的研究中，潘家柱等（2000）討論了廣義Pareto分布的性質(zhì)，并利用此模型對上證指數(shù)和深證指數(shù)的收益率進行分析，給出了相應(yīng)的VaR估計值；張明恒、程乾生（2002）研究了金融資產(chǎn)收益的混合高斯分布模型，給出了混合高斯分布的Kolmogorov-Smirnov檢驗方法，分析了金融資產(chǎn)收益的非高斯性；盧方元（2004）對上證綜指和深證成指收益率分布狀況進行實證分析，研究結(jié)果表明兩類股指收益率均可以用穩(wěn)定分布對其進行描述。

2 兩類新型分位數(shù)概率模型

2.1 分位數(shù)的定義

對任意隨機變量 X，任給實數(shù)τ（0＜τ＜1），若滿足：P{X≤xτ}≥τ且 P{X≥xτ}≥1-τ，則稱數(shù)值 xτ為隨機變量X的τ分位數(shù)。這個定義在實際中由于其存在性和唯一性問題使得理論研究中發(fā)生技術(shù)上的困難，為了回避這些技術(shù)困難，統(tǒng)計學家將隨機變量X的τ分位數(shù)定義為：

xτ=inf{x:F(x)≥τ}，τ∈(0，1)

其中，F(xiàn)(x)為隨機變量X的分布函數(shù)。特別地，當F(x)是嚴增函數(shù)時，上述兩種定義等價，且得到τ分位數(shù)唯一。

2.2 分位數(shù)函數(shù)

在傳統(tǒng)的統(tǒng)計理論中，常常使用某種分布函數(shù)或概率密度來刻畫一個隨機變量的分布，其經(jīng)典的代表便是正態(tài)分布。分布函數(shù)的優(yōu)點在于便于計算相應(yīng)隨機變量的數(shù)字特征，使得人們易于掌握該隨機變量的分布特征。但是，隨著人們對現(xiàn)實數(shù)據(jù)的不斷認識，發(fā)現(xiàn)采用分布函數(shù)來描述隨機變量的分布變得越來越復雜和困難，究其原因除了分布函數(shù)的表達式變得越來越復雜外，某些隨機變量的分布可能本身就不存在顯式分布函數(shù)，這就使得人們開始從不同的途徑來探索隨機變量的分布。分位數(shù)函數(shù)的出現(xiàn)，就是這方面的一個有益探索。相比分布函數(shù)而言，一個隨機變量的分位數(shù)函數(shù)往往具有更多優(yōu)點。從廣義上而言，一個隨機變量的分位數(shù)函數(shù)與其分布函數(shù)呈反函數(shù)關(guān)系，兩者在一定條件下呈一一對應(yīng)關(guān)系，而分位數(shù)函數(shù)一般具有更為簡潔的表達式，且易于數(shù)值擬合，這使得分位數(shù)分布成為近年來統(tǒng)計學者研究的熱點之一。

2.3 兩類新型分位數(shù)概率模型

下面的兩類概率分布族是由蔣文江教授和鄧世杰教授（2004）根據(jù)分位數(shù)的思想首先提出的，他們首先將其應(yīng)用在德國證券市場上用于刻畫股票收益率的分布并取得很好的效果。這里我們?nèi)匀谎赜盟麄兊谋硎痉绞絹肀硎緝深惙治粩?shù)概率分布族。其中，我們用QI(α，β，δ，μ)來表示第一類分位數(shù)概率分布族，其解析式可以表述為下式：

附注：模型（1）中所有的參數(shù)都具有直觀的解釋意義，其中μ是位置參數(shù)，δ是尺度參數(shù)，β參數(shù)的大小可以用來度量尾部的對稱性，當 β=1時意味著該分布是平衡的，當 β＜(＞)1時意味著分布的右尾（左尾）比左尾（右尾）厚；參數(shù)α可以刻畫分布的尾部厚度，較小的α值，意味著分布的尾部更厚。

第一類分位數(shù)概率分布族 QI(α，β，δ，μ)，具有顯式分布密度，其表達式如下

其中 x∈(-∞，μ)∪(μ，+∞)，因為第一類分位數(shù)概率分布族具有顯式分布密度表達式，所以我們可以直接采用極大似然估計的方法估計參數(shù)α，β，δ和μ。

第二類概率分布族用 QII(y;α-，α+，β-，β+，μ)來表示，主要用于擬合具有極端不平穩(wěn)尾部特征的數(shù)據(jù)分布，其分位數(shù)函數(shù)可以表示為：

其中，模型參數(shù) α-，α+，β-，β+∈R+，μ∈R ，并且我們主要關(guān)注的是參數(shù)α-≤1，α+≤1時的情形。與第一類分布相同，參數(shù)α-和α+也用來衡量分布左右尾部的厚度。

在上述分位數(shù)概率模型的基礎(chǔ)上，我們可以方便的計算出金融資產(chǎn)收益率的分位數(shù)和對應(yīng)的風險價值。設(shè)R(t)表示某項資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在持有期T內(nèi)的收益率，VaRθ表示該資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在置信水平為1-θ（0＜θ＜1）下的風險價值，則

其中，q(y)為R(t)的樣本分位數(shù)函數(shù)。

3 模型的實證分析

3.1 數(shù)據(jù)的選取及其統(tǒng)計特征

本文選擇美國標準普爾500指數(shù)（S&P500）、香港恒生指數(shù)（HSI）、上證綜合指數(shù)（SSEC）和深圳成份指數(shù)（SZSC）為樣本進行研究。為保證研究時期的一致性，所有樣本采用2008年1月1日到2013年6月30日的大盤日收盤價格指數(shù)進行分析，數(shù)據(jù)全部來自雅虎財經(jīng)網(wǎng)（www.yahoo.com）。下圖1給出四種股票指數(shù)在樣本期內(nèi)的走勢特征。

圖1 S&P500、HSI、SSEC、SZSC的走勢特征

日收益率采用連續(xù)對數(shù)收益，即 ri=lnPt-lnPt-1，其中Pt為每日收盤的指數(shù)價格。表1給出兩種大盤指數(shù)的對數(shù)收益率的統(tǒng)計特征。從表1我們可以看出：

除標準普爾500指數(shù)外，其他三種指數(shù)的收益率均值均小于零；四種指數(shù)中，深證成分指數(shù)的波動最大，標準差為0.0201，標普500指數(shù)由于其市場成熟度較高，故波動性最小，標準差為0.016；另外，四種指數(shù)的收益率的峰度都大于3，J-B統(tǒng)計量較大，說明其收益率分布都具有尖峰厚尾和非正態(tài)性分布的特征。

表1 收益率統(tǒng)計特征

3.2 基于第一類分位數(shù)分布的VaR模型的構(gòu)建

3.2.1 第一類分位數(shù)概率模型的估計結(jié)果

利用Q-Q（Quantile--Quantile）估計方法，我們得到基于第一類分位數(shù)分布擬合四類股票指數(shù)收益率的參數(shù)估計結(jié)果（見表2）。通過Q-Q圖展示了S&P500、HSI、SSEC和SZSC收益率的理論分位數(shù)與實際分位數(shù)的擬合情況發(fā)現(xiàn)：從四個圖的擬合效果來看，除了樣本尾部數(shù)據(jù)的幾個異常點外，理論分位數(shù)和實際分位數(shù)基本在一條直線上，這說明第一類分布的擬合效果較好。進一步分析發(fā)現(xiàn)，上證綜合指數(shù)和深圳成分指數(shù)的收益率擬合效果要優(yōu)于標普500指數(shù)和恒生指數(shù)的收益率。這可能和國內(nèi)股市的漲停板制度有顯著關(guān)系，漲停板制度的實施有效地限制了股票市場的大幅波動，從而使得大盤指數(shù)出現(xiàn)異常收益率的幾率大大降低。從表2的參數(shù)估計分析，我們發(fā)現(xiàn)四類指數(shù)的擬合估計β值都顯著大于1，這說明四類股票指數(shù)分布的左尾都比右尾更厚，呈現(xiàn)出左右尾部不對稱的特點，這提示我們當不利消息沖擊股市時，其損失將大于有利信息沖擊股市所帶來的收益。另外，四類股票指數(shù)分布的α都小于1，說明其收益率分布的尾部厚度大于正態(tài)分布的尾部厚度。

3.2.2 基于第一類分位數(shù)分布的VaR模型

在實證研究中為了檢驗第一類分位數(shù)VaR模型的準確性，我們分別采用靜態(tài)和動態(tài)兩種方式進行VaR的建模估計。所謂靜態(tài)VaR模型就是將樣本期內(nèi)所有數(shù)據(jù)都用于第一類分位數(shù)模型的估計，進而計算出所有樣本期的VaR風險值。另外一種情況，我們也考慮不同人可能選取不同的樣本長度進行VaR估計，這些不同樣本期間內(nèi)得到VaR值會不會有顯著的不同呢？它們之間是否會呈現(xiàn)某種特征呢？這促使我們考慮通過數(shù)據(jù)平移的方式來進行動態(tài)VaR估計，其建模的規(guī)則是：將樣本的收益率數(shù)據(jù)分為建模樣本和檢驗樣本兩個部分，采用樣本期內(nèi)的后500個數(shù)據(jù)用于模型檢驗，前面的數(shù)據(jù)用于建模，并逐次向后平移數(shù)據(jù)形成動態(tài)VaR序列。例如對于上證綜指的1374個樣本收益率中的前874個數(shù)據(jù)用于建模，后500個用于日VaR估計值的回顧測試，具體建模中采用數(shù)據(jù)的平移滾動方式進行估計，即用1～874個數(shù)據(jù)估計分位數(shù)模型并計算出第一個VaR值，再通過平移選取2～875個數(shù)據(jù)計算出第二個VaR值，…..，以此類推，我們可以得到一個VaR序列，其包含有500個VaR值，并用該VaR系列值與后500個日收益率數(shù)據(jù)進行比較，從而檢驗動態(tài)VaR模型估計風險的效果。

（1）靜態(tài)模型的估計結(jié)果。

表2中四類指數(shù)收益率的估計參數(shù)分別代入（1）式，并令置信度θ=0.01，我們得到置信水平為99%的VaR估計值，其結(jié)果如表3所示：

表3 四種股票指數(shù)的靜態(tài)VaR估計值

從上述結(jié)果可以看出，在整個樣本期內(nèi)，基于成熟市場的標普500指數(shù)和恒生指數(shù)的VaR風險值要明顯小于國內(nèi)的上證指數(shù)和深證成指的VaR值。同樣置信水平下，深證成指的風險最大。

（2）動態(tài)模型的估計結(jié)果

如上面所述，我們采用滾動平移的方式，分別做出標普 500指數(shù)（S&P500）恒生指數(shù)（HSI）、上證綜合指數(shù)（SSEC）、深證成分指數(shù)（SZSC）在置信水平99%下的VaR序列圖（圖略）。并在表4中給出三種股票指數(shù)收益率動態(tài)VaR序列的相應(yīng)統(tǒng)計特征。

表4 四種指數(shù)收益率動態(tài)VaR序列的統(tǒng)計特征

4 回顧測試

建立VaR模型估計金融風險后，監(jiān)管部門和金融機構(gòu)必須進行后驗測試（Backtesting），也稱為回顧測試，即將VaR模型預測的市場風險數(shù)據(jù)和實際交易結(jié)果進行對比，以評價VaR的準確性和模型的有效性。本文采用Christoffersen（2003）給出的VaR回顧測試方法，下面對其作簡單介紹。

圖2 四種股票指數(shù)動態(tài)VaR序列的回顧測試

從檢驗結(jié)果來看，S&P500和HSI各發(fā)生一次“VaR違背事件”，而SSEC和SZSC各發(fā)生兩次“VaR違背事件”，都小于損失超過VaR估計值的5次理論值。由此說明，基于第一類分位數(shù)概率分布的動態(tài)VaR能夠有效地度量四種證券指數(shù)的市場風險。另外，出于穩(wěn)健性考慮，我們也采用Kuipec（2005）提出的LR統(tǒng)計量來檢驗VaR預測違背比率π是否顯著不同于預設(shè)的顯著水平 p，即H0: π=p；H1: π≠p。在零假設(shè)下LR似然比統(tǒng)計量服從自由度為1的卡方分布，即

其中，T樣本測試期，n為樣本測試期內(nèi)“VaR違背事件”的發(fā)生次數(shù)，=n T為測試失敗率，p為顯著性水平。若零假設(shè)成立，在99%的置信水平下的分位數(shù)為6.635，若LR＞6.635，則拒絕原假設(shè)，對應(yīng)的VaR模型也被拒絕。表5顯示LR似然比檢驗的結(jié)果。

表5 LR統(tǒng)計量的檢驗結(jié)果

5 總結(jié)

本文在蔣文江教授和鄧世杰教授提出的一類新型分位數(shù)概率分布的基礎(chǔ)上，提出基于新型分位數(shù)分布的動態(tài)VaR模型，其優(yōu)點在于其直接對條件分布的分位點進行建模，而不依賴于特定的分布形式和分布參數(shù)，體現(xiàn)由數(shù)據(jù)選擇模型的思想，特別適合于厚尾分布數(shù)據(jù)的應(yīng)用。通過對標準普爾500指數(shù)，香港恒生指數(shù)、上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)的實證檢驗，回顧測試顯示，我們的分位數(shù)動態(tài)VaR模型能較好地度量證券市場風險，其該模型在發(fā)達證券市場的表現(xiàn)優(yōu)于國內(nèi)證券市場的表現(xiàn)。

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