直覺猶豫模糊集—針對雙重猶豫模糊集的改進

摘 要 本文針對雙重猶豫模糊集的缺陷進行改進，提出了直覺猶豫模糊集的概念。直覺猶豫模糊集綜合了直覺模糊集和猶豫模糊集的優勢，能夠細膩地刻畫出事物的模糊性且更接近人類思維模式。給出了基于t-norm和t-conorm的直覺猶豫模糊數運算法則，它是對雙重猶豫模糊數運算法則的擴展。

關鍵詞 直覺猶豫模糊集（數） 雙重猶豫模糊集（數）

中圖分類號：C934 文獻標識碼：A

自1965年Zadah 提出模糊集的概念之后，具有模糊性的多準則決策問題得到了一定程度的解決。Atanassov 在Zadah模糊集的基礎上增加一個新的參數——非隸屬度，提出了直覺模糊集的概念，能夠更加細膩地描述和刻畫客觀世界的模糊本質。Torra學者 于2010年提出了猶豫模糊集。猶豫模糊集允許元素的隸屬度是一個或多個在[0，1]內的值。

雖然猶豫模糊集本身就是傳統模糊集的拓展，還有學者在猶豫模糊集的基礎上繼續對其進行延伸，如Zhu和Xu 等人 提出了雙重猶豫模糊集，它是將猶豫模糊集擴展到直覺模糊環境中，即在隸屬度的基礎上增加一個新的參數—非隸屬度，且隸屬度和非隸屬度都以猶豫模糊數的形式給出。值得注意的是，Zhu和Xu提出的雙重猶豫模糊集在定義上具有一定的缺陷性，主要表現在其限制條件過于嚴格導致的適用范圍狹隘。本文將對雙重猶豫模糊集的概念進行改進，提出直覺猶豫模糊集的概念，并給出基于t-norm、t-conorm的直覺猶豫模糊數運算法則。

一、直覺猶豫模糊集的定義

定義1 ： 在論域X上，集合D是X中的一個子集。若x∈X，其隸屬于D的程度h（x）和非隸屬于D的程度g（x）均為有限集合，且滿足，，0≤ ， ≤1，0≤ ++ +≤1，其中， +=max{ | ∈h（x）}， +=max{ | ∈g（x）}，則稱集合D為雙重猶豫模糊集，簡稱為DHFS。用符號表示為D={|x∈X}。另外，稱d（x）=為雙重猶豫模糊元素，記為d=。

對于以上定義，有兩點需要注意：（1） 當h（x）=且時，條件0≤ ， ≤1，0≤ ++ +≤1將失去意義。（2） 條件0≤ ++ +≤1限制過于嚴格，其實際要求可以更加寬松。

接下來，本文將提出改進后的直覺猶豫模糊集的定義。

定義2：在論域X上，集合A是X中的一個子集。若，其隸屬于A的程度和非隸屬于A的程度均為[0，1]之間的元素的有限非空集合，且滿足

，使得0≤ A（x）+vA（x）≤1，且

，使得0≤ A（x）+vA（x）≤1。

則稱集合A為直覺猶豫模糊集，簡稱為IHFS。用符號表示為： 。

對于任意xi∈X，其在直覺猶豫模糊集A上的猶豫度。∏A（xi）衡量的是xi對于集合A的不確定程度， A（xi）=1- A（x）-vA（x）且0< A（xi）≤1。

特別地，當，和均只包含一個元素時，直覺猶豫模糊集（IHFS）退化為直覺模糊集（IFS）；當，={0}時，直覺猶豫模糊集退化為猶豫模糊集。當論域X中只包含一個元素時，我們稱>為直覺猶豫模糊數（IHFN），記為<>。

假設在論域X上，集合A是X中的一個子集。若，其隸屬于A的程度={0.7，0.75，0.78}，非隸屬于A的程度=（0.2，0.22，0.3），則x屬于集合A的程度可以用直覺猶豫模糊數來表示，為<{0.7，0.75，0.78}，（0.2，0.22，0.3）>。該例中的情況不適用于Zhu和Xu提出的雙重猶豫模糊數，因為0.78+0.3>1。由此可見，本文提出的直覺猶豫模糊數適用范圍更廣。

二、直覺猶豫模糊數的運算法則

Zhu和Xu定義了雙重猶豫模糊數的運算法則，如定義 3所示。

定義 3 ：在論域X上，d1=（h1，g1），d2=（h2，g2），且d1，d2∈DHFE則d1、d2間的運算規則定義如下：

接下來，本文將提出基于阿基米德t-norm和t-conorm的直覺猶豫模糊數運算法則。

定義 4：在論域X上，令A=，>，B=B∈IHFN， >0則，A、B之間的運算法則定義如下：

其中，l（t）=k（1-t），且k：[0，1]→[0，∞]為嚴格單調遞減函數。

如果給函數k（t）設定具體的形式，則以上運算法則也將隨著k（t）而確定下來。當k（x）=-long（x）時，定義4中的運算法則如（5）—（8）式所示：

此時，直覺猶豫模糊數的運算法則與Zhu和Xu定義的雙重猶豫模糊數的運算法則一致。

性質 2：

令，，， 1， 2<0則

從定義3和定義4可以看出，定義3是定義4在看k（x）=-log（x）時的一個特例，也就是說，定義4是定義3的擴展。

三、結束語

與Zadah提出的模糊集相比，Atanassov提出的直覺模糊集能夠很好地描述不完全信息，在刻畫事物的模糊性時更為準確、自由，因此在實際決策問題中的應用性要比Zadah模糊集強得多。類似地，對應于猶豫模糊集的直覺猶豫模糊集也是這般道理。本文提出的直覺猶豫模糊集是對雙重猶豫模糊集的改進，解決了后者在定義上的缺陷問題，且基于t-norm和t-conorm的直覺猶豫模糊數運算法則是雙重猶豫模糊數運算法則的擴展。

（作者：中南大學商學院碩士研究生，研究方向：模糊多準則決策方法）

注釋：

L.A. Zadeh， Fuzzy set， Information and Control， 8 （2） （1965） 338-353.

K.Anassov， Intuitionistic fuzzy sets， Fuzzy Sets and Systerns， 20 （1986） 87-96.

V.Torra， Hesitant Fuzzy Sets， International Journal of Intelligent Systems 25 （2010） 529-539.

B. Zhu， Z.S. Xu， M.M. Xia， Dual Hesitant Fuzzy Sets [J]， Journal of Applied Mathematics （2012）， doi：10.1155/2012/879629， online.