基于分數布朗運動的期權定價模型與kospi200的實證研究

摘要：期權定價模型理論的研究對金融衍生品這一金融創新的發展起著舉足輕重的作用。定價理論的發展從最初的完備市場的定價模型，到一系列的金融危機后的弱化市場假設下的數理金融模型。很多經濟學者意識到未來某一時刻的資產價格不僅與當前價格有關，與歷史價格也有關。經濟學家開始用分數布朗運動來代替原有的基于幾何布朗運動的經典假設來描述資產價格的運動規律，并將由此建立的期權定價范式運用于市場研究、投資等各個金融領域，取得了不錯的效果。

本文針對基于分數布朗運動的期權定價模型，結合韓國股指期權KOSPI200的實盤數據進行數據擬合。通過構建數據分析的系統架構，對交易數據進行采集分析，編寫數據處理的MATLAB模塊組，我們得到了較好的擬合結果。同時我們建議該模型市場環境參數的選取方法及計算方式，可以作為我國中金所即將上架的滬深300股指期權定價模型的范式。分數布朗運動的期權定價模型對于機構投資者把握市場趨勢具有較強的指導意義。

關鍵字：期權，分數布朗運動，KOSPI200，數據擬合

一、基于分數布朗運動的期權定價模型

金融學在資本市場的研究領域，核心問題就是金融資產的定價。期權可為其基礎資產對沖風險，因而期權是有價值的。期權的價值與其基礎資產價格的不確定性成正比，即基礎資產的風險越大，期權的價值就越大，其價格也就越高。正是從這個意義上講，風險是有價的，其價值就是為規避風險所要付出的成本。期權價值即期權權利金價值，期權價格是期權權利金的貨幣表現，它是期權購買者付給期權出賣者用以換取期權所賦予權利的代價。

期權定價模型的最初的理念是建立在人們對市場特征認識的基礎上。最為廣泛性的理論認為，對于充分有效的資本市場，證券的價格服從隨機游走過程，而其價格演變遵循幾何布朗運動，也就是價格變化是相互獨立的，與歷史無關。布萊克（Black）和斯科爾斯（scholes）以及莫頓（Merton）在此基礎上，假設預期收益率和波動率為常數，得到了著名的Black-Scholes-Merton公式，該模型可應用于歐式期權定價。后來，考克斯（J. Cox），羅斯（Steven Ross），魯兵斯坦（Mark Rubinstein）等人提出了二項式期權定價模型[i]。考克斯和羅斯的無套利定價理論[ii]，及發展出來的鞅方法是數理金融的重要分支。后來由于金融衍生工具引發的危機，如1994年11月的奧蘭杰縣破產案，巴林銀行的破產，以及08年金融危機下對沖基金的垮臺等，使得金融學家們開始審慎地考慮理論描述的市場。

數理金融的發展是從弱化模型假設開始的。很多學者在市場不完備的情況下，對期權定價理論做了很多修正，如Merton的支付紅利的期權定價公式[iii]，Leland考慮了交易成本后的定價模型[iv]。20世紀60年代，Mandelbrot發現股票市場存在長期相關性[v]，其收益率分布呈“尖峰厚尾”的分布，許多學者開始用不同的運動過程來代替原來資產價格的幾何布朗運動假設。20世紀中后期，科技領域出現了一股研究分形運動的熱潮，分數布朗運動是對具有分形特征的自然現象的高階逼真，而金融市場的價格波動也具備分形的特征，如自相似性，無特征長度，以及精細結構，在一定的參數條件下，幾何布朗運動只是分數布郎運動的特例。基于分數布朗運動的定價模型也應運而生，并取得了良好的發展。

（一）模型假設

1） 交易期間，股指不分紅，即q=0，且μ和σ為常數；

2）買賣股指期權需按標的物價格支付比例交易費用，其中v是交易的份額，v>0是買進，v<0是賣出，k是每單位估價支付的交易費；

3）投資期望回報率等于無風險利率，且無風險利率r是一個已知的常數；

4）市場是風險中性的，即市場波動能夠及時趨于穩定，不存在無風險套利機會；

5）證券交易是連續的，價格變動也是連續的；

6）投資策略每隔dt時間重新調整，dt是有限、固定的小量；

（二） 微分方程及其解

結合歐式看漲期權（Call option）和看跌期權（Put option）的邊界條件，P=max（K-St，0），C=max（St-K，0），可得其公允價值：

其中，

二、kospi200指數期權的實證研究

選取了合適的定價模型后，接下來我們需要通過模型來對數據進行運算和擬合。本文選擇的是韓國kospi200指數的期權交易數據。之所以會選擇kospi200指數作為研究對象，是因為有如下的幾點考慮：第一，該市場有大量的市場參與者，對應的國內外投資機構，除了做單邊投機外，還會根據市場來做套保，豐富了交易的手段；第二，市面上巨額的成交量使得市場的流通性風險很低，投機做主導使得市場的波動性極大，給期權交易提供了很好的環境，特別是價格波動的延續性和扭曲帶來了很多套利機會；第三，交易費用低廉。這些條件很大程度滿足了模型的假設。

因為在整個交易年度內，看漲和看跌期權合約的市場環境參數均在變化，所以我們在進行分析時，首先需要對數據進行篩選。我們建立了數據處理和數據分析架構：架構分為兩級的篩選流程。第一部分是數據采集過程，第二部分是數據分析過程。因為我們考慮的是2012年度的所有期權合約，總量上，需要從582張合約中進行挑選和分析。不同的合約在存續期，波動率，行權價格上均有所不同，這也是需要數據處理的原因。

（一） Hurst數計算

英國水文專家H.E.Hurst在研究尼羅河水庫水量時發現的有偏隨機游走更符合現實，并利用Hurst數作為判斷時間序列隨機運動特性的指標，用于表示分數布朗運動的特性。當0

本文通過數據庫選取了2011.10～2012.12的股指作為標的資產的計算數據，此時無風險利率r=0.035，交易費率k=0.0003。對于標的合約對應的的H參數，采用文獻[vi]所示的重標極差法進行計算，并使用matlab程序進行分析計算。計算結果表明擬合優度最好（0.95）時，H=0.88，即波動具有持久效應。

（二）模型結果及分析

從定價公式可知，確立期權價值最重要的有四個參數，分別是標的資產價格S，執行價K，標的波動率價σ，合約到期日（存續期）t，以及無風險利率r。由于利率在考察期內近似不變，我們討論模型中K、σ、t參數對期權價值的影響。

從數學的角度來講，對于多變量方程，為了考察不同參量對公允價值的影響，我們需要分別進行分析。針對三個不同的變量，鎖定住其他二個量不變，對最后一個變量的進行分析。

1. 行權價格S

我們對2012年度上半年的300張合約進行了篩選，選取了2012年1月份的6張看漲和看跌期權，到期日均為64天，標的股指的歷史波動率均為28.5%，行權價格分別為222.5，242.5，252.5。

模型計算得到的數據與實際數據擬合度較高。從期權的定義可知，對于看漲期權，行權價格越低，期權的內在價值越大；看跌期權而言，行權價格越高，期權的內在價值越大。不過仍可發現理論價值和實際價格存在一定的偏移，造成這種現象的原因可能有兩方面：

首先，模型的波動率精度有限，我們計算時假設這個量是常數，且計算的是標的資產的歷史波動率。實際上，波動率是時間的函數，需要通過建立復雜的隨機模型進行分析計算。

其次，模型仍然是不完備的，它缺乏對人們交易心理的考量，這些非理性因素造成了計算數據和真實數據間的差異：如對于虛值期權，其內涵價值小于0，但是仍然有市場價格。因為人們在交易的時候，對其價格和波動率的變化有預期，這種預期導致了期權的實際價格高于其公允價值，這種非理性的預期是模型沒有考慮到的。

2. 期權到期時間t

我們選取了2012年2月和4月的看跌期權，其行權價格均為272.5，這2張期權標的股指的歷史波動率均在13%左右，且指數運動的區間相近，不同的是2月份的到期日為12天，4月份的到期日為55天。

一般來講，期權合約剩余有效時間越長，標的資產價格波動的可能性就越大，獲利的機會和可能性越大，該期權的時間價值也就越大，多頭也就愿意為購買該期權而支付超過內涵價值以外的那部分金額。可知，模型的計算結果很好的符合了市場的走勢。

對于這兩張合約，實際的波動率一樣，造成他們價格差異的主要因素就是到期日的不同，這會影響人們對于波動率的預期。正如上面的分析，通過模型計算的價格缺乏人們對波動率的預期是導致理論價格與實際價格產生偏差的原因，且期權存續期越長，距離到期時間越長，人們的波動性預期越強，導致模型的誤差越大。隨著時間越接近到期日，理論價值與實際價格擬合地越好，這是由于人們預期開始回歸現實。

3.波動率σ的變動

波動率通常用于描述股票指數價格在一定期間內的不確定性。一般用年度化的標準差來表示。我們選取2012年1月和6月的2張看跌期權，并計算其歷史波動率用于模型計算。它們具有相近的行權價格、到期日以及相似的標的資產運動區間，前者股指的歷史波動率為28.52%，后者為18.06%。

一般來講，波動率越高，期權價格也越高。這個既可以從模型計算上得到反應，也可以從市場走勢上得到印證，說明模型的可信度較高。

從擬合結果可知，兩張合約的擬合度較高，且隨著時間接近行權日，擬合度逐漸升高。通過分析可知，人們對于未來的預期會影響市場價格的走勢，且隨著時間接近到期日，該影響會逐漸減小，最終預期會回歸理性。通過上述分析可以看到，這個推論還是有較高可信性的。

三、結論

通過數據的擬合分析，我們發現運用分數布朗運動模型計算所得的數據與實際走勢符合的較好，這充分說明市場滿足該模型的特征，該模型對于這個市場是適用的。在合約的數據篩選方面，我們對市場環境參數的假設也是成功的。但是，從模型構成的角度我們仍可以發現，模型的精度還有待提高，具體的改進主要應從以下幾方面考慮：

1、首先采用常數利率假設，這個在大的時間跨度下是有偏差的；

2、模型并沒有考慮到人的心理作用等非理性因素的影響：實際上市場的預期很大程度跟人為的心理因素有關，結合行為金融學，將心理因素量化，對模型進行修正，這對提高模型精度有重大的參考意義；

3、需要建立更復雜的波動率模型，而不僅僅使用歷史波動率作為計算數據；

4、關于模型的應用方面，考慮到國內并沒有開展真實的期權交易，只有模擬的交易，需要進一步應用模型做實證研究，并研究模型對市場走勢的判斷，以此制定出投資策略組合，進行風險可控的投資。還需要據市場行情不斷修正參數，形成動態的參數計算架構。

總之，在研究期權定價的過程，模型的選取，參數的選擇永遠不是固定的，方式也不是唯一的。在市場上交易的是人，所以只有能夠真實反映大眾的投資心理，把握政府政策和市場運作機理的模型才能被投資者使用和改進。通過量化建模，修正計算模型參數，實時監控風險大小是金融衍生品發展的趨勢，而這也是我們在以后的研究工作中，需要不斷用心努力和鉆研的方向。

參考文獻：

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