“信號與系統”周期信號頻譜的教學分析

摘要：周期信號的頻譜是信號與系統頻域分析中的重點和難點。以周期信號的頻譜教學為例，通過啟發式和案例式教學方法對其進行講授，以調動學生能動性，加深概念理解，取得了良好的教學效果。

關鍵詞：信號與系統；周期信號的頻譜；教學方法

作者簡介：楊宇（1984-），男，河北保定人，解放軍理工大學通信工程學院，助教；賈永興（1974-），男，甘肅秦安人，解放軍理工大學通信工程學院，副教授。（江蘇 南京 210007）

中圖分類號：G642.1 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）32-0146-02

頻域分析法是信號與系統分析的經典方法，也是學習后續專業課程的重要理論基礎。其原理主要包括：頻譜的概念、常用信號的頻譜及其性質等。由于用積分定義的頻譜不易被理解，通常教材多從周期信號的傅里葉級數展開開始，[1-4]逐步推廣到一般信號的積分變換，最終確立信號的頻域表達，所以，周期信號的頻譜就成為學生理解頻譜概念及其物理意義十分關鍵的一堂課。本文以周期信號的頻譜為例，來討論教學過程的設計。

一、傅里葉級數與周期信號的頻譜

1.周期信號的傅里葉級數表示

若周期信號的周期為T1，角頻率，根據傅里葉級數的定義，可由三角函數的線性組合表示為：

（1）

式（1）中n為正整數，，，各次諧波成分的幅度值按以下各式計算：

直流分量：

（2）

余弦分量的幅度：

（3）

正弦分量的幅度：

（4）

其中n=1，2，…。

顯然直流分量的大小以及基波與各次諧波的幅度、相位取決于周期信號。

2.周期信號的頻譜

由式（3）（4）可以看出，各分量的幅度an、bn、An及相位φn都是nω1的函數。為了直觀地顯示各頻率分量的相對大小，把An與nω的關系、φn與nω1的關系分別繪制成線圖，這種圖分別稱為幅度譜和相位譜，如圖1所示。

二、課堂教學方法

本次課是“信號與系統”由時域分析到頻域分析的第一次課，是在傅里葉級數的基礎上建立頻譜的概念。教學重點和難點在于時域到頻域的轉換以及對頻譜的理解。如何幫助學生從客觀世界進入到科學境界、從感性思維上升到理性思維，是進行教學內容設計的出發點。按照突出能力培養的指導思想，以深刻理解頻譜的基本概念和物理意義為重點，按照“啟發式”教學方法的基本要求，結合案例法，從學生已有的知識出發，組織教學內容，使課堂教學由“單向傳授”變為“引導發現”，使教學內容由抽象變形象。

1.啟發式教學

啟發式教學，[4]是教師根據教學的目的和內容以及學生的知識水平和知識規律，運用各種教學手段，采用啟發誘導的方法傳授知識、培養能力，使學生積極主動地學習，以促進身心發展。其中，“啟”是指教師的主導作用；“發”是指學生的學習自覺性和主動性。在教與學的過程中，學生的學習自覺性和主動性是起決定作用的，所以，啟發式教學的關鍵在于如何更好地調動學生的學習積極性。

本文運用“啟發式”教學法，以學生為主體，啟發引導學生，激發其求知欲，充分調動學生的能動作用，循序漸進地獲取并理解新知識。教學過程大致分為四步：

第一，激發興趣，導入新知。從學生熟悉的現象出發，引起對頻譜概念的求知欲望，建立頻譜的初步印象。

頻率是自然界事物的屬性。通過描述男聲、女聲、海豚音等頻率特點，建立從頻率認識事物的思想。通過播放音樂，顯示其時域波形和頻域柱狀圖，讓學生對頻譜圖的產生直觀印象，引出本次課的教學內容——周期信號的頻譜。

第二，精講啟發，探索新知。以“設問-分析-解答”為模式，一步步引導學生提升思維層次，逐步得到周期信號的頻譜。

首先，從典型的周期信號——正余弦信號出發，通過不同的正余弦信號的時域波形圖，引導學生總結出此類周期信號的三要素表示法，即由振幅、相角和頻率三個變量來確定一個正余弦信號，基于此幫助學生建立利用頻域表示信號的方法。然后，通過信號的時域波形表示，引導學生思考并總結出如何用圖形的方式來展示正余弦信號的三要素表示法，即正余弦信號的頻譜圖；振幅譜——振幅與頻率的關系圖；相位譜——相位與頻率的關系圖。基于此，幫助學生建立利用頻域觀測信號的方法。最后，讓學生利用正余弦信號的頻域表示及其頻譜圖來探索一下，一般周期信號的頻域表示和頻譜圖。可提示學生高等數學中有關周期信號與三角函數關系的知識，即傅立葉級數展開，如式（1）。結合式（2）（3）（4），便可得到一般周期信號的三要素表示法及其頻譜圖。

通過上述講述過程，由直觀到抽象，由具體到一般，由淺入深，使學生在老師的啟發下，逐步建立頻譜的概念，使學生理解頻譜代表了信號中包含的不同頻率的正弦分量。頻譜實際是將信號按變化的快慢分解，這樣就可以對信號按不同的頻率成分進行不同的處理，由此幫助學生建立頻域分析的意識，這也是本堂課的重點。

第三，實踐檢驗，掌握新知。結合案例法，利用圖形展示周期信號頻譜分析的應用，并讓學生利用頻譜知識實現案例中的結果，使其在實踐中加深對頻譜分析的理解與掌握，使所學的具體知識轉化為能力。

第四，精簡小結，鞏固新知。通過梳理學生認識的結果，進一步強化對周期信號頻譜的認識，并為下次課做好必要的鋪墊。

2.案例法

案例教學法是一種以案例為基礎的教學法，[5]通過對典型事例進行分析，使學生主動學習，并對案例中所涵蓋的知識獲得更透徹的理解。教師在教學中扮演著設計者和激勵者的角色，鼓勵學生積極參與，發揮其主觀能動性。

案例法與以教師課堂講授為主的傳統教學方法相比，有諸多優點：首先，可以啟發和促進學生思考問題，提高學生分析問題和解決問題的能力。其次，案例的生動性、可讀性，可以有效地調動學生的學習積極性，彌補純理論講述枯燥的不足，改變理論與實踐相脫節的現象。

本次課在第三步實踐檢驗環節，選擇了某高校學生利用電話撥號音破解某公司CEO的手機號碼這一熱點事件為例，展示周期信號頻譜的應用，進一步激發學生對頻譜的興趣，加深學生對頻譜的理解和掌握。

首先，通過一段新聞視頻向學生呈現此案例。

其次，案例分析環節要求學生個人分析或小組討論，確定視頻案例中的關鍵信息是什么；分析案例的關鍵性內容與此次課內容的關系；通過對案例的分析，思考解決問題的方法。

然后，向學生展示號碼1和2兩個按鍵音的時域波形圖，如圖2和圖3所示。從時域波形上，得不到什么特別信息來區別這兩個號碼。接著，展示這兩個撥號音對應的頻譜圖——幅度譜，如圖4和圖5所示。通過對比時域和頻域波形，學生可以直觀地從頻譜圖上看出按鍵音的幅度在兩個頻率點上的值比較大，并且這兩個頻率點一個為高頻和一個為低頻，即兩個頻率成分構成。這種由兩個音頻頻率疊加成一個雙音頻信號的撥號方式稱為雙音多頻（DTMF）。話機各撥號音與頻率的映射表，如表1所示，不同的按鍵由不同的高頻和低頻正弦信號組合構成，所以有著不同的聲音。比如按鍵1，對應著697Hz和1209Hz兩個頻率。

最后，基于此次課的頻譜知識并結合DTMF理論，給學生一個電話號碼撥號音的時域波形和頻譜圖，讓學生利用此次課的知識實踐完成撥號音的破解。

此案例結合圖形演示不僅讓學生加深了對頻譜概念的直觀理解，還為學生打開了認識“世界”的另一扇窗——變換域的分析方法。

三、結束語

“信號與系統”是電子信息類專業的專業基礎核心課，其中一些內容學生感覺較難掌握，這就要求教師更細致、全面、深入地備課和講授。本文以周期信號頻譜的教學為例，以概念建立作為教學目標，在教學模式的設計上主要運用啟發式教學法和案例法，利用圖形演示，啟發引導學生，從加深對已知對象的認知到依據新的認知產生新的知識，在完成知識增長的同時接受科學思維方法的熏陶。啟發式教學法并結合典型案例有機結合來講述周期信號的頻譜，對教材內容給予了很好的補充，取得了良好的教學效果。

參考文獻：

[1]管致中，夏恭恪，孟橋.信號與線性系統[M].第4版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]吳大正.信號與線性系統分析[M].第4版.北京：高等教育出版社，2008.

[3]鄭君里，應啟珩，楊為理.信號與系統[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]孫霞，章茜.建構主義學習觀下高職數學問題啟發式教學的探索[J].西北成人教育學報，2013，1（1）：25-43.

[5]張冠英.淺談案例教學法在電工學教學中的應用[J].廊坊師范學院學報（自然科學版），2012，12（3）：105-109.