關(guān)于泛函分析課程教學(xué)的建議

[摘 要]本文通過對(duì)泛函分析課程的特點(diǎn)的具體分析，根據(jù)自己的實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)教學(xué)提出了三條建議：1.以實(shí)維歐氏空間為原型，建立泛函分析研究的抽象空間；2.重視課程基本理論發(fā)展框架、注重?cái)?shù)學(xué)思想方法體系的構(gòu)建；3.注重對(duì)概念的理解和掌握。

[關(guān)鍵詞]泛函分析 教學(xué) 建議

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2013）16-0111-02

泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科之一，是綜合了分析、代數(shù)和幾何等學(xué)科而形成的。作為一門分析數(shù)學(xué)課程，泛函分析中的概念、定理等理論知識(shí)相當(dāng)豐富，又很抽象，知識(shí)的連貫性和邏輯性都很強(qiáng)，其對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求比較高。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)泛函分析時(shí)感到抽象，不易理解，學(xué)習(xí)起來很困難。同時(shí)，一些高校不斷擴(kuò)大學(xué)生公選課的數(shù)量，這使得泛函分析課時(shí)受到了大幅擠壓。又因?yàn)榉汉治鐾ǔＴO(shè)置在三年級(jí)，此時(shí)不少學(xué)生要準(zhǔn)備考研，還有一些學(xué)生已經(jīng)忙于找工作，這些都影響到泛函分析的教學(xué)效果。因此，如何提高課堂教學(xué)效果是高校有關(guān)教師的一個(gè)重要研究課題。

一、以實(shí)維歐氏空間為原型，建立泛函分析研究的抽象空間

實(shí)n維歐氏空間Rn是在n維實(shí)向量空間En上賦予歐氏距離而生成的，Rn中元素就是En中的元素，而且還滿足別的性質(zhì)，故Rn不僅是距離空間。Rn特點(diǎn)：1.任何兩個(gè)元素（向量）可進(jìn)行線性運(yùn)算，即Rn可看成一個(gè)線性空間。2.每個(gè)元素（向量）都對(duì)應(yīng)著它的長(zhǎng)度（模），而這個(gè)長(zhǎng)度恰是向量的端點(diǎn)到原點(diǎn)的歐氏距離。3.Rn作為向量空間，不僅有范數(shù)和距離的概念，還有兩個(gè)向量之間夾角和描述夾角的內(nèi)積概念，而且一個(gè)向量與自身的內(nèi)積剛好是其范數(shù)的平方（把內(nèi)積和內(nèi)積與范數(shù)的這種關(guān)系抽象出來，得到內(nèi)積空間的概念）。以實(shí)n維歐氏空間Rn為原型，逐步建立泛函分析所研究的三大抽象空間：

1.距離（度量）空間：只具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，是從平面和現(xiàn)實(shí)的三維空間等具體模型中抽象出來的。其中任何兩點(diǎn)之間只有距離關(guān)系而已（性質(zhì)不夠豐富，不能滿足很多實(shí)際問題的需要）。

2.賦范線性空間：具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)，是以Rn特點(diǎn)1、2及它與歐氏空間距離的關(guān)系為模型，抽象出的一類特殊的距離空間。

3.內(nèi)積空間：具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、幾何結(jié)構(gòu)。

把經(jīng)典分析與代數(shù)結(jié)合起來是泛函分析方法的特征，這使得初看起來相距甚遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)分支之間建立聯(lián)系并相互結(jié)合。上述分析揭去了抽象空間的抽象、晦澀的外殼，而針對(duì)這些抽象空間的抽象外觀，初學(xué)者可采用以下兩種方式來適應(yīng)：（1）在學(xué)習(xí)高度一般性的理論之前，首先來認(rèn)識(shí)比較熟悉而又不是特別抽象的函數(shù)空間，這樣會(huì)充分體會(huì)到抽象空間是源于現(xiàn)實(shí)需要、基于現(xiàn)實(shí)土壤的，然后再去學(xué)習(xí)一般的抽象空間理論（由特殊到一般）。（2）最大可能地借用有限維空間中的概念、術(shù)語與思維模式，用以形成對(duì)無限維空間的清晰可見幾何直觀。

二、重視課程基本理論發(fā)展框架、注重?cái)?shù)學(xué)思想方法體系的構(gòu)建

任何數(shù)學(xué)課程的基本結(jié)構(gòu)都是由兩根強(qiáng)有力的支柱支撐著，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，它們是整個(gè)課程的和諧統(tǒng)一體。數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通常混稱為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)課程中的每章每節(jié)甚至每道習(xí)題的求解過程，都是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)結(jié)合體，而數(shù)學(xué)思想方法又寓于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，通常有數(shù)學(xué)知識(shí)是“軀體”，數(shù)學(xué)思想方法是“靈魂”之稱。正是由于數(shù)學(xué)思想方法的作用，才使數(shù)學(xué)課程不是由零散的知識(shí)和孤立的事實(shí)組成，有形的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)正是由這種無形的數(shù)學(xué)思想方法作為紐帶而連接起來。

1.很多教材在結(jié)構(gòu)上缺乏整體性，知識(shí)體系上缺乏系統(tǒng)性，在章節(jié)之間缺少過渡和總結(jié)；教材與實(shí)際結(jié)合少。學(xué)生往往可以學(xué)懂零散的概念定理、會(huì)做一些習(xí)題，但沒有掌握課程基本理論框架，也就談不上構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法體系。這就需要教師在課程教學(xué)中要重視課程基本理論發(fā)展框架、注重?cái)?shù)學(xué)思想方法體系的構(gòu)建，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思想方法素養(yǎng)。我們必須遵循簡(jiǎn)潔、明晰的原則，在宏觀上，要讓學(xué)生知道我們?cè)谧鍪裁矗ń鉀Q什么問題），怎么做（方法），還能做什么（相關(guān)問題）；注重理論的基本框架、知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系、理論的實(shí)質(zhì)、解決問題思路的分析與方法的總結(jié)；盡量使用深刻而又通俗的語言來刻畫概念和定理，使抽象的定義和理論易于理解和接受，而不至于令人望而生畏，也不會(huì)索然無味；而關(guān)于課程的整體性、連貫性，需要教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容作細(xì)致的剖析和耐心的講解。

例如，講授不動(dòng)點(diǎn)定理時(shí)，第一步，先做引入：若函數(shù)f：[0，1]→[0，1]連續(xù)，則平面上直線y=x與f的函數(shù)圖像至少相交于一點(diǎn)x0，即■x0∈[0，1]使f（x0）=x0，即x0是個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（用介值定理可證）。第二，歸結(jié)問題：假設(shè)取定y1∈[0，1]，則y1=f（x）是一個(gè)一元方程。不妨將方程變形為x=f（x）-f1+x，記Tx=f（x）-y1+x，則T是一個(gè)映射，原方程變形為Tx=x，則解原方程就是求x*使x*=Tx*，即成為求映射的不動(dòng)點(diǎn)問題。第三步，提出問題：映射的不動(dòng)點(diǎn)是否總存在（不是）？不動(dòng)點(diǎn)何時(shí)存在（即滿足怎樣的條件）？是否所有的方程都可以化為求不動(dòng)點(diǎn)問題（不是）？滿足什么條件的方程可化為不動(dòng)點(diǎn)問題？第四步，給出定義和定理。第五步，證明定理（用“迭代逼近法”，此方法也提供了用一個(gè)序列逼近不動(dòng)點(diǎn)的思路并給出了相應(yīng)的誤差估計(jì)式）。這樣講授不動(dòng)點(diǎn)定理，學(xué)生會(huì)很自然地接受，否則直接給出定義和定理，學(xué)生會(huì)覺得莫名其妙。

2.要求學(xué)生撰寫各章總結(jié)小論文，組織課外習(xí)題討論與答疑。撰寫各章總結(jié)小論文，對(duì)所學(xué)內(nèi)容作分析、概括、總結(jié)，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容及相關(guān)課程的理解領(lǐng)會(huì)。

3.引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中主動(dòng)思考。由于課程內(nèi)容抽象、概念多，理論性強(qiáng)，邏輯嚴(yán)密，各部分內(nèi)容滲透交叉，所以在學(xué)習(xí)過程的每一個(gè)環(huán)節(jié)中都應(yīng)主動(dòng)多問“為什么”，“如果……”，在每一階段做總結(jié)、歸納，這些可以培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣而終身受益。

三、注重對(duì)概念的理解和掌握

數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)是高度的抽象理論與嚴(yán)密的邏輯推理相結(jié)合，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于提高抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。任何一門數(shù)學(xué)課的內(nèi)容都是由基本概念、基本理論、基本運(yùn)算和應(yīng)用四部分組成，要學(xué)好泛函分析，實(shí)際上就是要在這四個(gè)方面潛心鉆研。概念是最基本的思維形式，而數(shù)學(xué)中的推理和論證實(shí)際上都是在尋求不同概念間的關(guān)系。對(duì)概念準(zhǔn)確到位的理解和掌握是進(jìn)行推理論證的前提。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。那么，怎樣組織教學(xué)才能使學(xué)生更好地掌握概念呢？需要注重以下四方面：

1.注重概念的起源，聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原型講解概念。數(shù)學(xué)概念都是從實(shí)際需要中抽象出來的，如空間的完備性、最佳逼近元、有界線性算子（連續(xù)線性泛函）、算子（泛函）的范數(shù)等這些簡(jiǎn)單概念，都是由科學(xué)和實(shí)踐的需要而產(chǎn)生的。講清它們的起源，并與相關(guān)概念作比較，這樣學(xué)生既不會(huì)感到抽象，又容易形成生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)氛圍。

2.注重刻劃概念的本質(zhì)。一個(gè)概念在其形成過程中，有時(shí)附帶著一些無關(guān)特征。因此教師應(yīng)抓住重點(diǎn)，善于引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)，減少乃至消除不利因素的干擾。如空間的完備性、空間的同構(gòu)、稠密子集等概念，刻劃概念的本質(zhì)尤為重要。

3.理解概念的條件。定義都是判定語句，它由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，我們要對(duì)定義中的條件加以分析，討論其能否減弱或替換。

4.注重概念的對(duì)比。學(xué)習(xí)概念的目的，就是為了實(shí)踐應(yīng)用。因此要讓學(xué)生能夠運(yùn)用概念解決問題，并在此過程中通過積極思考加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生對(duì)概念的理解更全面、更深刻。其一，對(duì)于相似、易混淆的概念，做好比較。教師在設(shè)計(jì)練習(xí)的時(shí)候，對(duì)相似概念一定要抓住它們的聯(lián)系和區(qū)別，通過練習(xí)使學(xué)生真正掌握它們的判定方法和相互關(guān)系。其二，抓住概念間的內(nèi)在聯(lián)系作比較、分析。對(duì)于有內(nèi)在聯(lián)系的概念，要作好比較和分析，明確概念間的關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。例如：度量空間、賦范線性空間及內(nèi)積空間的“同構(gòu)”概念的比較。

總之，對(duì)概念的講解，一定要注意方法，讓學(xué)生理解，切勿讓學(xué)生死記硬背。數(shù)學(xué)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硇裕瑳Q定了搞好概念教學(xué)是傳授知識(shí)的首要條件。如果學(xué)生概念不清，必將表現(xiàn)出思路閉塞，邏輯紊亂，對(duì)法則、定理的理解更無從談起。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 吳炯圻，周戈.實(shí)變與泛函——基本原理與思想方法[M].廈門：廈門大學(xué)出版社，2004.

[2] 趙煥光.關(guān)于實(shí)變函數(shù)論課程教學(xué)內(nèi)容改革的構(gòu)想[J].浙江師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999，22（2）.

[3] 李玉琪.數(shù)學(xué)教育學(xué)概論[M].北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，1994.

[4] 程其襄，張奠宙.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1983.

[5] 匡繼昌.“實(shí)函與泛函”教材與教法改革的研究與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，10（2）.

[責(zé)任編輯：左 蕓]