元認知提示語指導下的數學師范生解題教學技能培養

摘要：元認知提示語是教師針對學生生動活潑的元認知活動的提問，若將其運用到中學數學解題教學之中，則能有效地改觀解題教學重“解”輕“學解”的現狀。本文介紹了將元認知提示語運用到數學師范生解題教學技能培養上的具體策略，并結合例題作了解題教學示范。

關鍵詞：元認知提示語；解題教學；著手解題；理解題意

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）06（b）-0000-00

The Training of the Problem-solving Teaching Skills of Mathematics Teachers with the Heuristic Words of Meta-cognition

LU Jun

（School of Teacher Education， Jiaxing University， Jiaxing， Zhejiang 314001）

Abstract： The heuristic words of meta-cognition is a type of questions which faces to the meta-cognition activities of students. If put it to the mathematical problem-solving teaching of middle school， we will change the appearance of the problem-solving teaching， which pays attention to “solving” but neglects “learning to solve”. This paper introduces the specific strategies of the application of heuristic words of meta-cognition in training of the problem-solving teaching skills of mathematics teachers， and gives a demonstration of problem-solving teaching with an example.

Key words： heuristic words of meta-cognition； problem-solving teaching； to the problem-solving； understand the theme

數學學習離不開解題學習，這必然導致數學教學離不開解題教學。因此數學教學的一個很重要的任務，就是教學生學習如何解數學題，教學生學會數學地思維[1]。解題教學技能的習得無疑是數學專業師范生的一門重要功課。

前蘇聯教育家斯托利亞爾曾指出：“怎樣教學生解問題？顯然，這是最復雜的數學問題之一。”正如所知，數學教學是數學活動的教學，數學活動的教學其實質是思維的活動，而思維活動的根本在于發現問題、提出問題、解決問題。那么，解題教學應該是最生動、最活潑的[2]。然而現實卻是，大部分教師持守陳舊觀念，固步于傳統的“師講生練”的解題教學模式，一味地單向灌輸著所謂的解題要訣與解題套路，如法炮制著一堂堂枯燥沉悶的習題課。

那么，在學科教學論課程的授課中，如何為數學師范生們講授正確的解題教學理論，訓練其扎實的解題教學技能，以有效地幫助準教師去改觀今后的解題教學課堂，自然是一個值得深思的課題。

1 解題教學問題的癥結與對策

審視現今的解題教學狀況，筆者認為問題的癥結在于教育者對解題學習目的認識的偏差及本質認識的盲目。

數學解題學習的目的是什么？早有學者精辟指出，“在數學解題學習中，學生的主要任務并不是解題，而是學習解題，因此教師教的重點和學生學的重點，不在于‘解’而在于‘學解’[3]”。但是一直以來，我們總是以“解”作為出發點，重結果輕過程，最終使得學生通過機械的模仿、記憶掌握了一定的解題套路，卻難以在解題的思想方法上有自己的體悟。

再論解題學習的本質，也有學者論言，數學的解題學習主要是有意義的發現學習。因為“數學解題學習最有效的方法是：在解題中學習解題，即在盡可能不提供現成結論的前提下，親身獨立地進行數學解題活動，從中學習解題，學會數學地思維，哪怕解題最終沒有到底，也會有所發現，有所體驗[3]。”然而我們卻不難發現，解題教學在教師們的導演下，有意義的發現學習悄無聲跡，取而代之的是大量、反復的機械的接受學習。

以上兩大失誤最終造成了解題教學的低效甚至無效，要從根本上扭轉這一局面，關鍵要重視解題教學過程中學生的主體參與，重視學生的思維活動。引發學生積極、有效的思維活動的途徑之一，是教師需極力避免那些耗時、單調、陳舊的簡單判斷和機械回憶式的提問，更多地借助啟發性提示語對學生進行必要的引導，使學生形成發現、提出和解決問題的學習心向。

2 元認知提示語的內涵、特征與作用

啟發性提示語包含針對學生的認知活動，指向具體的信息加工的認知提示語和針對學生的元認知活動，指向元認知知識、元認知體驗和元認知監控的元認知提示語兩類。前者為教師所熟悉并擅用，而后者則知者寥寥。

事實上，“元認知提示語”這一概念是涂榮豹教授在深入研究波利亞數學解題理論中的元認知思想并長期深入中學數學課堂進行研課的基礎上提出的。他認為，數學解題元認知能力的提高，有賴于解題學習者善于運用波利亞的“提示語”以及善于提煉具有個人風格的“提示語”[4]。

元認知提示語是教師針對學生生動活潑的元認知活動的提問。它幫助激發學生的自我意識，關注自身認知活動的進程，促使其選擇認知活動的策略，分析當前遇到的困難并決定是否作出調整以及如何調整。在教師元認知提示語的引導下，學生的認知逐漸趨于清晰、規范、準確。

在著名數學家、數學教育家波利亞的“怎樣解題表”中，有大量自我詰問，自我反省式的問題，如“你以前見過它嗎？”“你知道一個與此相關的問題嗎？”“現在有一個與你問題相關的問題，你能利用它嗎？”“你能不能用不同的方法重新敘述這個問題？”“回到定義去。”等都沒有直接涉及問題的具體內容，完全是針對主體自身思維，是對自身解題思維活動的反詰。倘若將這些元認知提示語充分運用于解題教學中，必將為促進師生良好互動，有效啟發學生思維和收獲解題教學實效提供強有力的幫助。

3 數學師范生的解題教學技能培養

結合元認知提示語理論，我們對師范生的解題教學技能培養策略作了相應改進，以期使處于精力旺盛、可塑性強、樂于接受新觀念新理論階段的師范生，能夠感知元認知提示語的強大功效，并在教學技能訓練和教育實習中予以實踐，不斷強化自身的解題教學技能。

3.1 元認知提示語的理論講授

講授數學解題教學理論時，在保證一般解題教學理論講解到位的同時，重視講授數學解題中的元認知思想。首先對于波利亞的解題理論，我們將其作為數學教育基本理論的一部分作系統講授，讓學生對著名的“怎樣解題表”有一個明晰的認識和理解。其次，結合波利亞的解題四步驟講授解題中的元認知提示語，特別針對最為重要的第一環節——理解題意，教授“如何著手解題”和“如何理解題意”兩套元認知提示語。

3.1.1 如何著手解題

如何著手解題是當遇到一個陌生的新問題時，最先開始時應該如何思考。此時解題者缺乏解題的思路和方法，但擁有問題的條件和相關的知識、方法、經驗，需要想辦法從“所有”去找到“所無”，尋找的途徑可以借助如下一系列問題來探索。

這是一個什么問題？要求（證）什么？這也就是要求（證）什么？

已知條件有哪些？哪些你可以直接利用？沒法直接利用的那些條件你可以進行轉化嗎？

還缺少什么條件？你能從已知條件中再挖掘出一些隱藏著的條件嗎？

所有這些條件你如何利用？想想還有沒條件沒有利用？

3.1.2 如何理解題意

較之于如何著手解題，更為重要的是如何理解題意。實踐表明，學生不能很好解題的最重要原因，就是沒有樹立重視理解題意的意識，沒有養成理解題意的良好習慣，更沒有掌握如何理解題意的方法。以下是一套用于理解題意的元認知提示語[1]：

它是什么？如何表示？能否表示成其他形式？

它有什么性質？如何表示？能否表示成其他形式？

它們有什么關系？如何表示？能否表示成其他形式？

它是否與其他問題有聯系？能否利用這個聯系？

3.2 元認知提示語的實踐演練

理論講授之后，教師結合整個課程計劃，精選3道相當于高考綜合題第一、二題難度的習題，根據課程伊始的抽簽順序確定9名學生在此階段進行解題教學練習，由學生自行協商后安排每3人講授其中一道題。為便于對講課效果進行比較分析，盡量將同一道題的講授置于同一時間段內。所有的練習都在微格教室進行同步攝錄，以幫助后續的反思研討。每位學生模擬過后，開展由學生自評、生生互評及教師點評三者相結合的多重評價，若各方評價后認為該生的解題教學能夠過關，教師就為其打分，作為其在教學技能項目上的得分，如果普遍認為暴露的問題過多，教師則要求學生綜合各方意見，反思改進后進行二次實踐。訓練流程圖如下：

布置解題教學任務的同時，教師向所有解題教學實踐者講明要求：每人的講課時間控制在15min左右；在進行解題教學設計時，要求圍繞具體問題對設計好的元認知提示語進行分類和分層預設，提煉具有層次性的系列提示語，并按照每一問與解題目標的接近度由遠及近排列；模擬教學中，根據學生認知活動的水平和層次，靈活選擇相應層級的提示語，由遠及近，由元認知過渡到認知，逐步達成目標；另外，元認知提問務必緊密結合學生正在進行的認知活動，并留給學生充分的思考時間。

4 元認知提示語在解題教學中的應用示例

例：在△ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cos2A = ，sinB = 。

（1）求A+B的值；

（2）若a-b=-1，求a、b、c的值。

該題是三角函數模塊中的一道綜合題，旨在考察學生對兩角和的正（余）弦公式、二倍角公式及其變形形式、正弦定理等基本公式的掌握。作為解題教學練習題，要求練習者能夠充分運用元認知提示語，幫助學生厘清各項條件（包括已知的和利用已知可求得的條件）后，綜合所有條件尋找解題途徑。在第二問中，特別要在幫助學生抓住現有結論以建立邊角關系上下功夫。以下一系列用于著手解題和理解題意的提示語可幫助教師有效引導學生思考。

這是一個什么問題？要求什么？——“這是一個求角度的問題，要求的是兩角和的度數。”

現在已知條件有哪些？可以直接利用嗎？——“現在已知角A、B、C都是三角形的內角，且A、B為銳角，另外題目告訴我們cos2A = ，sinB = 。這些條件都不能直接用來求A+B的值。”

那么既然A+B的值不能直接去求，根據已知條件，你能想到把結論轉化一下嗎？——“既然題目告訴我們cos2A = ，sinB = ，看來這是一個與三角函數有關的問題，那可以通過求cos（A+B）或sin（A+B）來間接得到A+B的值。”

那現在哪些條件可以利用了？怎么利用？——“已知的條件都有用了。譬如通過求cos（A+B）來求A+B的值，由sinB = 及角B為銳角，推出cosB的值，又已知cos2A = ，因為cos2A =1-2sin2A=2cos2A-1，角A也為銳角，這樣可以先求得sinA再得cosA或先求得cosA再得sinA，最后把sinA、cosA、sinB、cosB代入兩角和的余弦公式，就不難求得A+B的值了。”

上述一系列提問可以是個別提問，也可以是面向全體發問，或者向接力賽一般提問若干學生。一連串元認知提問的背后，是學生主體參與的增強與思維活動被引向深處。對于該題的第二問，教師同樣可以借助元認知提問來開展有效的解題教學。

條件是什么？要求什么？——“條件是a-b=-1，即三角形的兩邊之差，要求的是三角形三條邊各自的長。”

那么這一問所給的條件連同題設和第一問得出的結果，你能利用起來去求三邊長嗎？——“好像不能直接利用。”

為什么不能直接利用？——“上一問是求角度，第二問是求邊長，關于三角形的角度和邊長之間的關系題目中沒有相關條件了。”

題目中沒有相關條件，那我們在學習三角函數的時候有沒有學過一些關于三角形的角度和邊長關系的定理？——“有，正弦定理和余弦定理。”

好的，那么這兩個定理你感覺哪個用起來更方便？——“正弦定理。”

那我們來試試看。要用正弦定理的話，現在已知什么？還缺什么沒有？——“已知sinA和sinB，還有a-b=-1，缺了sinC、c兩個值還有a、b中的某個值。”

那么所缺少的條件中，有沒什么是你還可以進一步求得的？——“sinC，因為由A+B的值可知角C度數。”

回想下正弦定理的公式，現在條件夠了嗎？——“夠了，根據a-b=-1這一關系式，a、b兩邊中一條邊先用另一條邊來表示，利用正弦定理解方程后求得其中一邊后得到另一邊長，然后再用一次正弦定理可以求出c。”

完成解答后，教師還可通過元認知提問來幫助學生進行解題回顧，譬如提問學生“如果我們通過求sin（A+B）來求A+B的值，那會怎樣？”，“第二問除了用正弦定理，還有別的方法可行嗎？”等引導他們對一些細節問題作深入思考。

5 結語

以上是將元認知提示語運用到數學師范生的解題教學技能培養上的具體策略。通過教師的不懈努力，已初顯實效。三輪實踐中，我們的準教師都能有意地回避掉那些傳統的解題教學留下的烙印，積極樹立啟發式教學思想，在解題教學和需要引導學生思維的教學階段能夠主動運用元認知提示語開展良好的師生互動，向著幫助學生真正學會解題，學會數學地思維這一目標邁進。

參考文獻

[1] 涂榮豹，王光明，寧連華.新編數學教學論[M].上海：華東師范大學出版社，2006，9

[2] 黃永明，陳靜安.數學課程標準與學科教學[M].南京：南京大學出版社， 2011，6

[3] 涂榮豹.數學解題的有意義學習[J].數學教育學報，2001，10（4）：15-20.

[4] 涂榮豹.數學解題學習中的元認知[J].數學教育學報，2002，11（4）：6-11.