遞推數列在解概率問題上的應用

摘 要：本文指出了遞推數列、概率有機結合的題型，體現了知識網絡的交匯點，探討了運用遞推數列解答概率問題的數學方法，分析了遞推數列與概率的綜合題對提高學生解題能力的作用。

關鍵詞：遞推數列 概率 綜合 能力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）06（c）-0090-02

遞推數列是中學數學教學的難點，概率是新教材所增加的內容。二者的聯袂，使數學題增加了活力，也使在知識網絡交匯處命題增加了新的亮點。這對培養學生的數學思想方法和提高解題能力十分有益。本文試圖對遞推數列在概率上的應用做粗淺的分析研究。

例1：一種擲硬幣走跳棋的游戲：棋盤上有第0、1、2…100，共101站，一枚棋子開始在第0站（即P0=1），由棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次。若硬幣出現正面則棋子向前跳動一站，出現反面則向前跳動兩站。直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失?。r，游戲結束。已知硬幣出現正、反面的概率相同，設棋子跳到第n站時的概率為Pn。

（1）求。

（2）設（1≤n≤100），求證：數列是等比數列。

（3）求玩該游戲獲勝的概率。

解：設事件A發生的概率為P，若在A發生的條件下發生B的概率為P′，則由A產生B的概率為P·P′。根據這一事實解答下題。

（1）∵P0=1

∴P1=，，

（2）棋子跳到第n站，必是從第n-1站或第n-2站跳來的（2≤n≤100），

所以，

∴，

∴≤≤，且。

故{}是公比為，首項為的等比數列（1≤n≤100）。

（1）由（2）知，

故獲勝的概率為。

例1是一道跳棋游戲的應用題，貼近學生生活，具有知識性，趣味性。不僅使學生能夠運用所學的遞推數列和概率的有關知識解答這一身邊的游戲性問題，而且使枯燥，呆板的數學題充滿了活力和魅力，令學生感到學的輕松和愉悅。

例2：有人玩擲骰子動棋的游戲，棋盤分為A、B兩方，開始時把棋子放在A方，根據下列（1）、（2）、（3）的規定移動棋子：（1）骰子出現1點時，不能動棋子；（2）出現2，3，4，5點時，把棋子移向對方；（3）出現6點時，如果棋子在A方就不動。如果在B方，就移至A。把骰子擲了n次后，棋子仍然在A方的概率記為Pn。

（1）對于任意n∈N，證明點（Pn，Pn+1）總在過定點，斜率為的直線上。

（2）求Pn。

解：（1）把骰子擲了n+1次，棋子仍在A方的概率為Pn+1，有兩種情況應當考慮：

①第n次棋子在A方，其概率為Pn，且第n+1次骰子出現1點或6點，不動棋子其概率為，因此，第①種情況產生的概率為。

②第n次棋子在B方，其概率為1-Pn，且第n+1次骰子出現2，3，4，5或6點，其概率為，因此，第②種情況產生的概率為。

∴

易知

∴點（Pn，Pn+1）在過點，斜率為的直線上。

（2）

又∵（利用（1）的結論）

∴是首項為公比為的等比數列。

∴

∴

例2雖然也是個玩棋的游戲問題，但在第（1）問中是把遞推數列構造的等比數列表現形式進一步延伸，改變問法，變成了證明題。使之與解析幾何直線問題密切結合，溝通了遞推數列、概率、解析幾何之間的聯系，拓展了學生的思維，培養了探究問題的能力。再進一步推廣，遞推數列，都可以化成第（1）題形式的證明題，起到了一題多變，多題一解的作用。

例3：已知正四面體A—BCD，有一只小蟲自頂點A沿每一條棱以等可能的概率爬到另外三個頂點B、C、D。然后又從B、C、D中的一個頂點沿每一條棱以等可能的概率爬到其它三個頂點，依次進行下去。記Pn為第n次到頂點A的概率（小蟲剛開始在A點，此時算作第1次到A，即記為P1=1）。

（1）求P n的通項公式。

（2）求第2005次爬行到頂點A的概率。

解：（1）由于第n次到頂點A是從B、C、D三個頂點爬行而來，從其中任何一個頂點到達A的概率都是，而第n—1次在頂點A與小蟲在頂點B、C、D是對立事件，因此，第n次到達頂點A的概率為，即?！?/p>

∴是以為首項，公比為的等比數列，

∴.

故

（2）第2005次爬行到頂點A的概率

小蟲爬行問題，小學初中數學中出現過相關問題。學生閱讀完例3，有我們曾相識的感覺。從而激發了學生強烈的求知欲，調動了學生在新知識背景下解答小蟲爬行問題的積極性。由于用到對立事件原理，推導出遞推數列，使學生感到很新奇。同時使學生認識到解數學題也應與時俱進，從而培養學生科學發展觀。

例4：從原點出發的某質點M，按向量a=（0，1）移動的概率為，按向量b=（0，2）移動的概率為。設M到達點（0，n）的概率為Pn，求Pn。

解：M到達點（0，n）有兩種情形：

（1）從點（0，n-1）按向量a=（0，1）移動到點（0，n），此時概率為。

（2）從點（0，n-2）按向量b=（0，2）移動到點（0，n），此時概率為。

因這兩種情形是互斥的，故有≥，

即≥。又易得

所以數列是以為首項，為公比的等比數列。

于是≥

所以

向量與概率都是新教材重量級內容，例4是用向量“包裝”的概率題，又以數列“一劍封喉”，創意新穎，別具匠心。例4的解答是學生所學向量，遞推數列、概率知識融為一體的綜合運用，也是對學生知識網絡的全面考查。

例5：質點A位于數軸χ=0處，每隔1秒就向左或向右移動1個單位，設向左移動的概率為，向右移動的概率為。

（1）求經過3秒后，質點A在c=1處的概率。

（2）假若質點B在c=0和c=1兩處之間移動，并滿足：當質點B在c=0處時，經1秒后必移到c=1處，當質點B在c=1處時經1秒后分別以的概率停留在c=1處或移動到c=0處。今質點B在c=1處，記經n秒后質點在c=1處或移動到c=0處。今質點B在c=1處，記經n秒后質點在c=1處的概率為P n，建立P n+1與P n的關系式，并求出Pn。

解：（1）A到x=1對應“兩右一左”的一個排列，

所以。

（2）質點A經n秒，在c=1處的概率

由此得。而，

所以。

所以。

學生在審題時，注意到關鍵詞“兩右一左”，才能確定第（1）題是求獨立重復試驗的概率。第（2）題是把條件進一步拓寬。使問題有了新高度，通過遞推數列構造等比數列，使問題迎刃而解。題目不偏不怪，對培養學生敏銳地觀察能力和靈活的思維能力頗有益處。

以上可以看到，遞推數列與概率的綜合在數學命題中舉足輕重，再加上聯系其它知識，更是錦上添花，前景廣闊。

參考文獻

[1]薛金星.《中學教材全解》高二數學（下）[M].陜西人民教育出版社，2002.