數學題變式的常用方法

摘 要：本文闡述了什么是數學題的變式及數學題的變式對發展學生思維，提高解題能力的作用，并對數學題變式的常用方法進行了初步探討。

關鍵詞：變式 舉一反三 命題 解題能力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）06（c）-0088-02

數學題是無窮無盡的，搞“題海戰術”不僅加重學生的學習負擔，而且削弱了基礎知識的學習，也影響了學生思維的發展。數學教學要在發展學生思維能力上下功夫，而一題多解與一題的變式應用這兩種形式對于培養學生分析問題和解決問題的能力是有效的。本文想對數學題變式的常用方法做初步探討。

題的變式是指對于一道數學題，適當變換條件或結論，變換形式或內容，得到一些新的數學題。

把一道數學題變成新的數學題，所用知識，解題方法都可能引起變化。通過比較鑒別，會使學生進一步開闊思路，學的靈活；同時有利于鞏固基礎知識和基本技能的訓練，起舉一反三的作用。

一題的變式在新課、復習課和習題課都可應用。

1 條件或結論的等價替換

在數學命題中，有些命題是等價命題，他們之間可以互相推導，如果將命題的條件（或條件）用等價的條件（或結論）替換，便可得出新命題。

例1：方程（a-b）c2+（c-a）c+（b-c）=0有相等二實根，求證：a、b、c成等差數列。

這個命題可改寫成“若（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0，求證：a、b、c成等差數列。”

實際上原題中方程有相等二實根與新題的（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0是等價的。

原題也可這樣改變：“設A、B、C為三角形三個內角，且（sinA-sinB）c2+（sinC-sinA）c+（sinB-sinC）=0有相等二實根，求證：sinA、sinB、sinC成等差數列。”

有正弦定理知，在△ABC中，（sinA-sinB）c2+（sinC-sinA）c+（sinB-sinC）=0與（a-b）c2+（c-a）c+（b-c）=0是等價的，sinA、sinB、sinC成等差數列與a、b、c成等差數列是等價的。

例2：設tgα，tgβ是方程c2+ac+a+1=0的二根，求證（α+β）=1

這個題條件不變，結論可改成“求證sin（α+β）=cos（α+β）”。

或改成“求證α+β=nπ+，（n為整數）。”

2 利用數學中的互逆關系

數學存在著對立統一的辯證關系。如加與減、乘與除、乘方與開方、指數與對數、反三角函數與三角函數、和差化積與積化和差等等。這就啟發我們可以根據數學中的互逆關系，進行變式。

例3：設α，β為銳角，且tgα=，tgβ=，求證：α+β=。可以改寫成

“求證：arctg+arctg=”。

在幾何命題中，有些原命題、逆命題都成立，這樣可以把條件和結論部分交換或全部交換，得出新命題。

例4：由圓外一點O，向圓C作切線OA、OB，A、B是切點，在劣弧AB上任取一點P，作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，PF⊥OB于F，則PE2=PD·PF。（見圖1）

如將結論與條件部分交換，可改寫成“設等腰△OAB的頂角為2θ，高為h，在△OAB內有一動點P，到三邊OA、OB、AB的距離分別為|PD|、|PF|、|PE|，并且滿足|PE|2=|PD|·|PF|，求P點的軌跡。（見圖2）

例5：在△ABC中，∠A的平分線交BC于D，則。如果條件與結論全部交換，可改成“在△ABC中，D為BC上一點，且，則AD平分∠A”。

3 變換問題的表現形式和內容

對于同樣的數量關系和邏輯關系，常可以表現為各種不同的形式。我們掌握了這種關系之后，可以編出與這種關系相同而表現形式不同的習題。

例6：分解因式：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15。

這個題可改成解方程：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15=0。或改成解不等式：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15>0，或改成“求函數y=lg〔（（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15〕的定義域”等等。

例7：已知CD是直角△ACB斜邊AB的高，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求證：（見圖3）

根據條件和圖形，可改成“設CEDF是一個已知圓的內接矩形，過D作該圓的切線與CE的延長線相交于A，與CF延長線相交于B，求證：。”（見圖4）

例8：若a、b、c為正數，

且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥

利用代數和幾何的聯系，可以改成“長方體三度之和為1，求證此長方體的對角線的長不小于。”這樣一變，使學生進一步學到了溝通不同學科知識的方法，有利于培養學生綜合運用知識的解題能力。

以上幾列原題和新題之間雖形式上不一樣，但在數量關系和解題方法上基本沒有變化。

4 題目的發展和深化

（1）利用特殊和一般的關系，使題目內容發展和深化。

例9：化簡：

這個題化簡的結果是x2，如果將x換成sina，cosa，seca，csca等之一，就使一般問題特殊化了，從而使題目的內容發展了。

例10：在△ABC中，求證tgA+tgB+tgC= tgAtgBtgC

實際上，不一定在△ABC中，只要A+B+C=nπ，nZ上式就成立。

特別是當n=0時得到

；

通過對原題有時增加條件，有時改變條件，由特殊到一般，由一般到特殊地進行變式，起到了歸類串線、多題一解的作用，可以使學生掌握解題規律。

（2）條件不變，使結論發展和深化。

例11：已知方程組（A、B、C、D均為正數）

（1）證明c是一個二次方程的根；

（2）證明這兩個方程有相異二實根；

（3）試指出此二次方程的絕對值大的根的符號。

顯然，從方程組中消去y，便可得到關于x的方程。在此基礎上，要證明（2）還得用到判別式，要回答（3）需比較兩根的大小。條件雖未變，通過連串三問，使結論發展、深化了，使問題拔了高，擴大了知識領域。

從本文的例題中，可以透視出有些新題是怎樣編擬出來的，同時也啟發我們在教學中重視變式的應用。

參考文獻

[1]首都師范大學數學系教材教法研究室.中等數學教題研究[M].河南教育出版社，1994.