數學教學需要培養學生的觀察發現力

摘 要：本文結合課堂數學教學實踐，通過例舉對一些數學問題的探索分析，明確在讓學生探究知識的過程中應重視培養學生的觀察能力，讓學生發現數學問題的關鍵，幫助學生思考獲得最佳的教學效果。

關鍵詞：數學 教學 觀察發現

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）06（c）-0023-02

數學教學應較好地、有效地讓學生培養數學思維能力。要讓學生對問題追根尋源，發揮學生的主動性，激發起學生的學習興趣。這就需要學生具有善于“觀察發現”的能力。觀察發現是人們認識客觀世界的最重要手段，很多有成就的科學家之所以能有所發現、有所發明。一方面是具有良好的思維能力；另一個重要原因就是他們有良好的觀察發現力。在數學教學中對學生觀察發現能力的培養，這是數學教學的前提，也是解決數學問題的手段。如在平面幾何的教學中，難于著手的證明題極多，學生易產生畏難情緒，在教學中應利用各類題目或同一題中各小題的關系，讓學生觀察題型發現問題的規律，找出解決問題的方法，歸納出同類證明題的思路，有繁變簡，由難變易，提高學生的學習興趣及解題能力，養成敏捷的數學思維能力。比較下列各題有什么規律特點？

第一題（如圖1所示）四邊形各邊的中點順次連結的四邊形，是一個平行四邊形。

第二題（如圖2所示）四邊形的一組對邊同兩對角線的中點順次聯結的四邊形是一個平行四邊形。

第三題（如圖3所示）延長四邊形AKCL的兩組對邊，AK、LC交于B，AL、KC交于D，若AB、BC、CD、DA的中點順次是E、F、G、H則EFGH是平行四邊形。

引導：（1）讓學生觀察第一題，圖1提問：

①已知條件是什么？要求證的是什么？

②思考證明四邊形是平行四邊形可用哪些方法？

③是否可以直接利用定理來證明四邊形是平行四邊形嗎？

④可用什么方法來求證？（如連結BD，利用三角形中位線定理證明四邊形一組對邊平行且相等）

（2）觀察第二、三題。（觀察方法與第一題一樣）

（3）通過以上三題的觀察，看圖（2）、（3）與圖（1）有什么發現？（有什么不同之處？什么相同之處？有什么相關？）

（4）讓學生各自發表自己的發現。（對以上三題的觀察知道，可發現，以上三題表面看是三個完全不同的題目，但實際是同一題的變形。如把第一題中的四邊形ABCD的BC邊反過一個方向，就成第二題；如把第一題中的四邊形ABCD中的∠C換作>180°，就成第三題。因此，它們的證法也相同，都可用第一題利用三角形中線定理來證明。）

（5）教師歸納總結。從以上同學們的觀察可知，要發現問題應從被觀察問題的表面著手，把觀察到的東西，系統的有條理的進行分析，找出問題的實質，發現同類問題的共同特征，整理出解決同類問題的途徑及方法。所以我們只要善于觀察發現問題，不少幾何證明題多可歸類找出典型圖形，可總結解決這類問題的方法，以后碰到就迎刃而解了。

第一題（如圖4所示）在三角形ABC各邊上向外各作等邊三角形ABD、BCE、CAF，則CD=AE=BF。

第二題（如圖5所示）四邊形ABCG的一組對邊AB、CG上向外各作等邊三角形ABD、CGF，又在BC上向內作等邊三角形BEC，則DE=AC，EF=BG。

第三題（如圖6所示）A、B、C是同一直線上的順次三點，以AB、BC為邊，向同側各作等邊三角形ABD、BCE，則AE=CD。

第四題（如圖7所示）A、C、B是在同一直線上順次三點，以AB、CB為邊，向兩側各作等邊三角形ABD、CBE，則AE=CD。

引導觀察：用以上的方法觀察可有什么發現？

可發現：以上四題圖形截然不同，第1題是三角形，第二題是四邊形，第三、四題是直線，但其中所含有完全類似的部分—— 都有等邊三角形。根據觀察，可發現兩全等三角形的基本圖形，因此，證法也就一樣。如第1題中，因∠DBA=∠CBE=60°，兩邊各加上∠ABC得，∠DBC=∠ABE，又∵DB=AB，BC=BE，∴△DBC≌△ABE，∴CD=AE得證。第二、三、四題同理可證得（略）。

可繼續觀察下面兩題（并作圖），有什么發現？

（1）若在ABC的兩邊AB、AC上向外各作正方形ABDE，ACFG，則BG=CE，BG⊥CE。

（2）在線段AB上任取上點C，以AC，CB向同側各作正方形ACDE，CBFG，則AG=DB，AG⊥DB。

讓學生自己歸納發現結果。

以上兩題就是把前幾題作等邊三角形換作作正方形，觀察步驟方法也與前幾題相同，解決問題的方法也相同。可證得二線相等并可得出兩相等線段必垂直。（證法略）

觀察發現在幾何題的動態題型中也很重要。不少題目表面看運動后圖形變化較大，但很多題目實際與起始圖形有較大的內在關系，可以讓學生結合原始圖形作為觀察的對象，發現圖形運動后的不變性來分析證明。

評講試題：如圖8，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，在BC邊上取兩點E、F點E在點F的左邊），以EF為邊所作等邊△PEF，頂點P恰好在AD上，直線PE、PF分別交直線AC于點G、H。（1）求△PEF的邊長；（2）若△PEF的邊EF在線段CB上移動，試猜想：PH與BE有何數量關系？并證明你猜想的結論；（3）若△PEF的邊EF在射線CB上移動（分別如圖9和圖10所示，CF>1，P不與A重合），（2）中的結論還成立嗎？若不成立，直接寫出你發現的新結論。

分析：問題（1）較簡單，可以過點P作PK⊥BC于K，因為四邊形ABCD是矩形，所以PK=AB=，∵△PEF是等邊三角形，∠PEF=60°，∴易得PE=PF=EF=2。

問題（2）運動變化，需提示觀察發現∠PHA的不變性特點，求出∠PHA=30°，并且利用三角函數求出∠PAH=30°。因此，得到∠PHA=∠PAH，∴PA=PH，即得：PH=PA=KB=BE+KE=BE+1。

而問題（3）圖形的運動，則需結合問題（2）觀察圖8、圖9、圖10運動變化的特點，發現圖形中始終不變的關鍵，因此，對問題（2）中∠PHA深入研究，發現∠PHA=30°始終不變，即可推導得出PH=PA始終成立，由此可得如圖9時結論為PH=PA=1-BE（12）。即（2）中的結論不成立。此類問題，都可通過觀察發現找到解決問題的不變關鍵。

數學教學的中心是問題教學，因此，要讓學生善于觀察問題，善于發現問題，在發現問題解決問題的過程中，培養學生的學習興趣，鍛煉學生數學思維能力，提高教學質量。

參考文獻

[1] （美）G.波利亞.怎樣解題——數學思維的新方法[M].上海科技教育出版社，2007.

[2] 曹一鳴.中國數學課堂教學模式及其發展研究[M].北京師范大學出版社，2007.