兩角和（差）正弦、余弦公式教學的再思考

【摘 要】本文試利用復數的指數形，即歐拉公式，將兩角和（差）的正弦、余弦公式有一個系統的證明方法，使學生能明確而有效地掌握兩角和（差）的正弦、余弦公式，同時為廣大數學教育工作者提供一個新型的教學方法。

【關鍵詞】兩角和（差）公式 歐拉公式 證明

【中圖分類號】G712 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）23-0181-01

一名數學教師的成功之處莫過于將一個知識點通過簡捷、有效、正確的方法傳授給學生，使學生能很好地掌握，并加以熟練應用。而兩角和（差）的正弦、余弦公式的教學研究早在1700年前的畢氏就創立了幾何模型。現代有人利用圓冪定理或向量積進行研究都取得了很好的效果。本文向大家介紹利用復數的指數形式，即歐拉公式來證明兩角和（差）的正弦、余弦公式，供大家參考。

一 復數的指數形式——歐拉公式

對于虛數的研究由來已久。早在1545年意大利數學家卡當首先研究，給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾，而德國數學家高斯則第一次引入復數的概念，將一個復數用a+bi的代數形式表示，后來又有人將復數表示為γ（cosθ+isinθ）的三角形式。瑞士數學家歐拉創造性地給出了cosθ+isinθ=eiθ的指數形式，即歐拉公式。利用歐拉公式表示復數則有γ（cosθ+isinθ）=γeiθ。

二 三角函數用歐拉公式表示

三 兩角和（差）正弦、余弦公式的證明

1.兩角和正弦余弦的證明

對于兩角差的余弦公式證明可用同樣的方法，具體證明過程略。

關于數學定理、公式的證明在數學教學中十分重要，它有助于學生的理解、記憶，并能有效地利用。上述證明方法的最大優點在于簡單。它在歐拉公式的基礎上只利用了初中數學中的多項式乘以多項式及有理指數冪的運算。借此真切希望廣大數學教學工作者在數學教學實踐活動中提供更簡單的方法，為數學教學事業的發展提供更廣闊的空間。

〔責任編輯：龐遠燕〕