數形結合思想在初中數學教學中的應用

一、數形結合的涵義

數形結合是運用數與形的相互關系來解決問題的思想方法。其中“數”在初中階段，主要包括實數和代數對象及其關系，它們是比較抽象的。而其中的“形”主要是指幾何圖形，它們是比較形象的。通過數形結合，利用數和形的各自優點，將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，使問題簡單化、特殊化、具體化，從而使問題輕松得到解決。總的來說，數形結合的思想包含兩個方面的內容：

（1）“數”上構“形”：很多時候，題目發問的方式是有關代數方面的，但是它們是有幾何意義的，我們就可以由它的這種幾何意義發現數與形之間的新關系，即將代數問題形象化，以形助數，使問題得到解決。

（2）“形”中覓“數”：很多時候，題目發問的方式是有關幾何的問題，而且已知圖形已經作出，要解決這圖形的問題主要是尋找恰當的表達該問題的數量關系式，即將幾何問題代數化，以數助形，使問題得到解決。

但是因為以上兩點又不是彼此獨立的，所以對代數問題也可獲得幾何解釋。因此，“數”上構“形”和“形”中覓“數”是數形結合在中學數學中兩種基本應用。

二、初中部分數式與圖形的對應關系

在初中教材中，許多數式都有其幾何意義，許多的圖形又都可以用數式來表示，它們之間這種關系是密不可分的：①實數可以看作數軸上的點A，反之數軸上的點A也有一個實數a與之對應；②實數a的絕對值│a│，其幾何意義是數軸上的點A 與原點O 的距離；③已知實數 ，則式 ，其幾何意義是數軸上兩點A ，B 之間的距離；④實數對 與平面內的點 對應；⑤函數與圖像的對應關系。

一次函數、二次函數、反比例函數都有其對應的圖像。

三、數形結合在教學中的應用

“數無形時不直觀，形無數時難入微”道出了數形結合的辯證關系，數形結合簡而言之就是：見到數量就應想到它的幾何意義，見到圖形就應想到它的數量關系。在數學教學中，數形結合對啟發思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。數形結合滲透在中學數學的每個部分，根據數形結合的觀點，可以通過對數量關系的討論來研究圖形的性質，也可利用圖形的性質來反映變量之間的相互關系，因此數形結合可以使數和形相互啟發、相互補充、相互印證。為了培養學生形成數形結合的思維習慣，在初中代數教學中就要有意識地滲透數形結合的思想和方法。

1.關于有理數

有理數是中學數學中初中部分的內容，作為一種新概念的引入，數形結合的方法（數軸）在一定程度上幫助了學生理解“負數”“相反數”等概念，有助于學生直觀地比較出數的大小，為進一步地學習創造了有利條件。

（1）負數的概念：小于零的數稱為負數，即正數前加上負號“- ”，在數軸上表示為原點左邊的數。

（2）相反數的概念：在數軸上，與原點距離相等的兩個數稱為相反數。零的相反數還是零。

（3）絕對值的概念：在數軸上，一個數的絕對值表示這個數距離原點的長度。

2.函數、方程、不等式問題中的應用

運用數形結合思想方法分析和解決問題時可以化繁為簡，數形結合的思想是中學數學中基本而又重要的思想之一，數形結合使我們從孤立地研究問題發展到在變化過程中研究數學問題。不論用代數方法研究幾何問題，還是用幾何圖形研究代數式，都貫穿著數形結合方法分析問題和解決問題。我們可以通過兩方面來著手加強數形結合意識滲透和能力的培養：一方面是通過數量關系的討論來研究幾何圖形的性質，比如“解析幾何”這門學科就是建立在這種思想方法的基礎上；另一方面是利用幾何圖形的直觀性，揭示數量關系的許多特性，深刻理解這一觀點，有利于提高我們提出問題、分析問題、解決問題的能力。

綜上所述可見，數形結合思想是學好數學的一把鑰匙。它可以把一些看似復雜的問題變得非常簡單，也可以使一些難以下手的問題迎刃而解，所以在我們的學習過程中要對數形結合思想給以充分的重視。特別是在做題時，要爭取做到以形輔數，以數論圖。但在利用數形結合思想時我們要注意，畫圖要精確，代數性質與幾何性質的轉換應該是等價的，否則解題就會出現漏洞。同時由于圖形的局限性，有時不能完整地表現代數的一般性，此時應用數形結合時應更小心。掌握好數形結合思想，必定能在今后的學習生活中獲得更好的發展與進步。

（作者單位：江西省贛縣第二中學）