高等數學教學的數學思維和數學思想

[摘 要]高等數學是大學開始階段開設的課程，高等數學相較于初等數學有相當的抽象性。同時剛剛接觸高等數學的大多數學生對所要學的東西的了解是很缺乏的，因此教師教學中既不能以好學生作為教學啟發的參照系，又必須以代表性的問題來作為教學的出發點。教學中應該經常思考，如果自己從來沒有學過高等數學，自己會遇到怎樣的困難，怎樣解決這些困難？從而對學生就會多一點耐心、多一點理解、多一點表揚，少一點權威、少一點苛求、少一點批評。

[關鍵詞]高等數學 數學思維 數學思想

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）24-0076-02

高等數學教學主要的特點在于它是數學思維的教學。高等數學教學中應該注意數學思想的運用和滲透。

一、高等數學教學是數學思維的教學

高等數學教學時應該一切從思路出發，力圖讓每個學生搞清知識點間的聯系。比較重要的是抓住思維的直觀性、合理性和層次性這三個方面：

（一）數學思維的直觀性

高等數學教學一般有四種類型：淺入淺出、淺入深出、深入深出、深入淺出。最高境界是深入淺出，高等數學中不少內容較為抽象，教學中應該能把深奧的道理用非常通俗的語言來敘述，讓人一聽就懂。

（二）思維的合理性

知識的呈現應該是水到渠成的結果，而不是像變魔術那樣讓學生感到不可捉摸，更不能故作高深來顯示自己。而要做到這一點，關鍵是要知道你為什么要教這個知識？要盡可能按照人類認識事物的一般順序來啟發學生思考。

（三）思維的層次性

首先，要理清知識的層次關系。

其次，要注意啟發的層次性。啟發一般采用由遠及近的方法來進行，一開始問題可以提得比較宏觀一點，這樣可以更好地拓展學生的思維，如果學生思考有困難，可以將問題提得更具體一點，如果學生還有困難，問題還可以提得再具體一點，……，這樣逐步深入，直到學生真正理解為止。

二、用數學思想將數學知識統一起來

教師在高等數學教學中應充分滲透數學思想方法，充分發揮數學思想方法在數學教學中的指導作用、統攝作用，要用數學思想這一線索將零散的知識統一起來。讓學生學會從數學思想方法這一高度居高臨下認識高等數學的本質。

下面介紹兩種比較重要的數學思想：模式思想和轉化思想：

（一）模式思想

著名數學家、數學哲學家A.N.懷特海曾經指出：“數學是在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究的科學。人們正是通過模式這種有限的東西而達到對無限的宇宙的認識的。”

下面通過■（1+■）x=e這一重要極限（模型）的教學來具體說明高等數學教學中如何體現模型思想。

眾所周知，■（1+x）■=e，■（1+■）■=e與■（1+■）x=1這三個極限之間的區別與聯系也是很多學生常常出現混淆的地方。為了避免學生產生混淆，在教材中可以按照以下步驟來分析和掌握這三個極限的共同本質并在此基礎上建構■（1+■）x=e這一重要極限模型。

首先，提示并引導學生探究重要極限的本質特征。引導學生歸納出前兩個極限所具有的共同特征，即不管加數是x還是■，其本質都是無窮小。換句話說，就是應將學生的注意力引向判斷與1相加的到底是不是無窮小這一本質，而不應該讓學生只是無謂地糾纏，到底是x還是■這一表面現象。然后再進一步歸納出指數不管是x還是■，它始終等于這個無窮小的倒數。那么就不僅可以將公式■（1+x）■=e，■（1+■）■=e有機地統一在一起，避免犯■（1+x）■=e，■（1+■）■=e，而且可以與極限■（1+■）■=1更好地區別開來。當然，為了使學生更好地理解極限■（1+x）■=e的本質，在教學中還可以提出一些問題，如求■（1+x）■，■（1+x）■等更一般的情形來讓學生通過比較和辨別來更好的認識極限■（1+x）■=e的本質特征。

其次，在探究基礎上歸納極限特征。在學生進行探究的基礎上讓學生歸納出極限■（1+x）■=e的三個重要特征：底數與指數中都有變量；底數為1和無窮小之和；指數剛好是底數中無窮小這一加數的倒數。

最后，列出運用重要極限解題的一般步驟。首先識別所求極限是否適用于這一公式（即底數與指數中都有變量）；如果適用，則將底數化為1和無窮小之和的形式（把底數變成“1+X”的形式）；通過乘或加的方法使指數中出現的倒數■（需要注意的是如果用乘法，必須有一因式為常數）；運用公式求極限。其它有關運算。

（二）轉化思想

匈牙利著名數學家路莎·彼得在她的名著《無窮的玩藝》一書中對“化歸方法”作過描述：“數學家往往不對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉化為已經能夠解決的問題?！备叩葦祵W教學中應該注意培養學生的轉化思想，并盡可能讓他們養成運用轉化思想解決問題的習慣。

下面以羅必塔法則的教學為例來進行說明：

我們知道，除了“■”型和“■”型的未定式外，還有“0·∞”型、“∞±∞”型、“00”型、“1∞”型、“∞0”型等類型的未定式。求解這類未定式極限的基本思想是采用轉化的數學思想方法，先將它們轉化為“■”型和“■”型這兩種基本的未定式。

例：求■xx。

在解決這道問題時，教師可以這樣啟發學生：“前面我們已經學過‘■’型和‘■’型的未定式，現在又出現了‘00’ 這是一未定式，如何來求這類未定式的極限呢？”如果學生不能想到將其轉化為“■”型或“■”型的未定式，教師可以進一步啟發學生：“可不可以將其轉化為‘■’型或‘■’型的未定式呢？”，如果學生認為可以，那么可以進一步啟發學生：“怎樣才能將‘00’型未定式轉化為‘■’型或‘■’型的未定式？”通過這樣的啟發學生應該不難想到：必須將乘方運算轉化為乘除運算，而將乘方運算轉化乘除運算的基本方法是取對數。

解：方法一：設y=xx，取對數得

lny=xlnx，

■lny=■xlnx=■■=■■=-■x=0，

然后再根據復合函數的連續性得：ln（■y）=■（lny）=0。

從而有■y=1，即■xx=1。

方法二：利用公式x=elnx將乘方運算轉化為乘除運算。

■xx=■exlnx=e■=e■=e■=e■=e0=1。

高等數學是高等教育中重要且基礎的課程之一，對高等數學理解的深入程度對大學生今后的發展常常起著至關重要的作用。同時高等數學又往往是不少大學生深感頭痛并且難以掌握的課程之一。作為高校教師，我們在考慮高等數學整體教學方案，或者考慮具體知識點的講授的合理性時，我們始終注意數學思維的教學，并且注意模式思想和轉化思想的靈活運用，則往往有事半功倍的效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 陳琦，劉儒德.當代教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，1997.

[2] [美]約翰·布蘭斯福特，等.程可拉等，譯.人是如何學習的[M].上海：華東師范大學出版社，2003.

[3] 桂德懷.高職高等數學課程改革研究綜述[J].中國職業技術教育， 2010，（17）.

[4] 朱云生.高職《高等數學》教學的優化探索[J].職業教育研究，2009，（12）.

[責任編輯：左 蕓]