美式證券期權定價的數值方法討論

【摘要】近年來，利率衍生工具的定價和對沖，已經受到數學家和金融家的許多關注。債券期權不同于股票衍生品，它更具有挑戰，它把價格取決于利率和時間的債券作為標的資產。因此，必須找到動態模型來刻畫整個收益率曲線的隨機過程，這使得利率衍生工具的定價成為一項復雜的任務。之前的學者已經建立了多種利率衍生模型：如Black模型，CIR模型和HW模型等。本文提出了一種基于Cox-Ingrosll-Ross（CIR）模型的數值方法，用來定價美式折扣債券期權。CIR模型是由偏微分互補問題管轄的。我們首先提出一種懲罰法來解決這種互補問題，得到了一個非線性偏微分方程（PDE）。為了得到這個非線性PDE的數值解，我們使用了一種新的用于空間離散的擬合有限體積法和時間層的隱式差分格式。

【關鍵詞】美式期權定價 金融 互補問題 計算方法

在現代金融理論和實踐研究中，各種衍生證券的定價是非常重要的問題。期權是一種很特殊的衍生工具，它是指在未來時間的選擇權，它提供給期權持有者在特定的時間按某一確定價格購買（或出售）一定數量標的資產的權力，而不負有必須購買（或出售）的義務。自1973年期權在芝加哥交易所首次進行交易以來，期權市場便迅猛發展，而期權定價理論的研究也隨之取得了突破性進展。Black和Scholes首先給出了不支付紅利股票下的歐式期權的定價公式，同年，Merton為他們提出的期權定價理論的完善化做出了杰出的貢獻。期權定價理論是目前金融數學、金融工程研究的前沿和熱點問題。

中國在改革開放的進程中，金融市場逐漸發展并與世界接軌。各種新型金融產品的出現和金融交易的的引入，是勢不可擋的。雖然中國的期權市場發展起步較晚，但縱觀整個國內期權市場，其需求已相當成熟。然而期權的開發能否從研究階段過渡到試運行階段，取決于如何對期權進行有效的風險控制與管理，要做到這一點，則必須首先對期權進行合理的定價。因此，開展對期權定價理論的研究就顯得尤為重要了。

對于歐式期權，Black 和Scholes早已給出解析形式的定價公式，然而，對于美式期權的定價，并不存在這樣的解析公式，也無法求得精確解。此外，在現實世界中，交易所中交易的期權大多數為美式期權。因此，發展各種計算美式期權價格的數值方法具有著重要的實際意義。

一、美式債券期權定價的數學模型

這部分我們簡略地描述了美式債券期權的數學模型。表示短期利率，在這篇文章中，我們假設利率期限結構由CIR模型控制，即，值由均值回歸的平方根控制：

是維納過程的增量，是短利率的長期值，代表調整的速度，是帶有常數的方差，在實踐中，值是強制約束的正數，Cox等人展示了面值1美元的折價債券在到期時它的價格計算式：

，

其中為市場風險溢價。

現在，用表示敲定價格為的美式零息債券看跌期權的價格，持有者可以在到期日獲得一定的報酬。引入時間逆向轉換式，期權的價格就能夠用公式表示出來，就像下面幾種拋物線型偏微分互補問題（PDCP）。

問題1：

（1）

幾乎處處屬于內，

為了計算的目的，有必要約束值在一個有限的范圍，值是一個足夠大的值，以確保該方案的準確性，因此公式（3）可寫為：

問題2：值得注意的是對于看跌期權，且，而對于看漲期權，，否則期權將無法實施并且毫無價值。

二、美式債券期權定價的數值方法

1.懲罰法。在這個部分中，我們將采用懲罰法來解決上述互補問題（1）。為了實現這一點，我們通過下面的非線性PDE來近似描繪這一互補問題。

問題3：

， （2）

其中是懲罰參數，滿足并且對任意的，。

懲罰法背后的思想很簡單。通過添加懲罰項，當懲罰參數變得足夠大時，正項部分接近于零。因此，（1）中的互補條件近似被滿足。關于懲罰法有解和收斂特性的具體研究可以在其他文獻中找到。

問題4：由于擴散算子的退化和支付函數的非平滑，問題1一般沒有經典解（“平穩”的解）。同樣，（2）是非線性和退化的。因此，問題3也沒有經典解。在這種情況下，我們要尋找問題1和3的粘性解。在金融上，粘性解正是與金融相關的解。在金融數學背景下，PDE粘性解的存在性和唯一性都得到之前學者詳細的討論。請注意，問題3的解是問題1的解的近似。各學者已探討得出，當時，收斂于。因此，為了簡單起見，我們將省略這部分討論，集中注意于問題3粘性解的數值逼近。

2.擬合有限體積法。為了簡化記號，在本文其余部分，我們將省略問題3的解的下標。在進行離散之前，我們先將（2）轉化為以下形式：

（3）

其中，

，

，

。 （4）

擬合有限體積法是基于自伴隨形式（3）的。我們先定義I的兩種空間分區。把I分成N份

，對任意，使，

如果我們定義，這些時間間隔將形成了另一個分區。

對于任意，在上對（3）進行積分，

（5）

根據定積分的定義，我們可得：

（6）

是區間的長度，對于任意，，

表示節點逼近的值。是與V相關的加權通量密度，可以被定義為：

（7）

我們現在得到了被定義在區間（對任意）中點處的連續通量的近似值。現考慮以下兩點邊值問題：

，

（8）

求解這個方程，我們得到：

， （9）

其中，

（10）

同樣，我們也可以在處定義一個通量。

注意到以上的分析并不適用于在區間上的通量的近似，因為（8）是退化的。為了解決這個問題，可以重新考慮給（8）再加一個自由度，此處不做詳細介紹。

三、結束語

在本文中，我們制定了一種數值方法，基于CIR模型，用于解決從美式折扣債券看跌期權定價中所產生的互補問題。在這種方法中，我們首先使用懲罰法通過一個非線性PDE來接近原始問題。然后我們提出擬合有限體積法解決非線性PDE的空間離散，再加上時間層隱式差分格式。而關于該方法的離散以及收斂性本文不再證明。

參考文獻

[1] 張鐵.美式期權定價問題的數值方法[J].應用數學學報，2002（01）：113-122.

[2] 姜禮尚.期權定價的數學模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2008.

作者簡介：董夢玲（1991-），女，安徽合肥人，本科，研究方向：金融數學。

（編輯：陳岑）