用導(dǎo)函數(shù)計算等量同種電荷連線中垂線上場強(qiáng)的最值

在孤立系統(tǒng)中，等量同種電荷連線中垂線上的場強(qiáng)分布較復(fù)雜。從定性分析看，在中垂線上自無窮遠(yuǎn)處至電荷連線的中點(diǎn)，電場強(qiáng)度是先變大后減小。應(yīng)該存在場強(qiáng)最值，本文依據(jù)高中數(shù)學(xué)知識證之。

設(shè)兩電荷A、B均為正，電荷量為 ，距離為2l。在中垂線上任取一點(diǎn)P，P與電荷連線與l成角θ（θ∈[0°，90°]）。見圖1。

根據(jù) ，推得 。

同理 。

因為兩場強(qiáng)關(guān)于中垂線對稱，所以合強(qiáng)場方向向上。

令 為常數(shù)C（C>0）。

換元sinθ=x（0≤x<1），即原函數(shù)為 。

三次函數(shù)y=x-x3，對該函數(shù)求導(dǎo)y′=1-3x2，圖像見圖2。

有最值。

∵sinθ=x（0≤x<1）。

∴當(dāng) 即 時，E合可取得

最大值 。

當(dāng)sinθ=0或 ，即θ=0°或

時，E合可取得最小值E合min=0。

筆者在習(xí)題課的教學(xué)中，采用了該方法證明等量同號電荷中垂線場強(qiáng)最值，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，體會到數(shù)學(xué)思想方法是解決物理問題的重要工具。

〔責(zé)任編輯：王以富〕