從高考試題看線性規劃的學習與復習

線性規劃是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法。在經濟管理、交通運輸、工農業生產等經濟活動中，提高經濟效益是人們不可缺少的要求，而提高經濟效益一般通過兩種途徑：一是技術方面的改進，例如改善生產工藝，使用新設備和新型原材料。二是生產組織與計劃的改進，即合理安排人力、物力資源，線性規劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力、物力等資源，使經濟效益達到最大。一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。決策變量、約束條件、目標函數是線性規劃的三要素。

高中階段線性規劃內容是新課標實施后新增加的內容，近年來成為高考中的熱點問題，其試題已從簡單的求線性目標函數的最值、平面區域的面積，轉變為求非線性目標函數的最值、參數的范圍，現在更是出現了與向量、概率、不等式、函數相結合的新題型。下面通過高考試題分析解讀體會如何學習、復習該部分知識。

一 考題回顧

高考試題對線性規劃內容的考查主要體現在以下三個方面：

第一，注重對基本題型的考查。（1）已知線性約束條件，求目標函數的最值問題。如2012年，山東理第5題。（2）線性規劃應用題。如2012年，四川理第9題。

第二，體現對線性規劃與其他知識相結合問題的考查。（1）含有參數的線性規劃問題。如2012年，福建理第9題。（2）與向量、不等式、概率等知識相結合的線性規劃問題。如2011年，湖北理第8題；2009年，山東理第12題；2012年，北京理第2題。

第三，凸顯對線性規劃體現的“數學規劃”思想方法的考查。典型試題：（2012年，江蘇14）已知正數a，b，c滿

足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍是

。

二 分析解讀

1.關于線性規劃基本題型

已知線性約束條件求目標函數的最值問題，線性規劃應用題，屬于線性規劃的最基本問題，是線性規劃的簡單應用，要求學生能夠熟練掌握可行域的畫法，并能根據目標函數的變化情況，在可行域內找到相應的最優解及最值。對于應用性問題還要求學生能夠根據題意，通過設置恰當的未知數將實際問題轉化為線性規劃的問題求解。旨在考查學生對線性規劃基本知識、基本問題的掌握，屬于容易題。

2.關于對線性規劃與其他知識相結合的題型

它體現了線性規劃的靈活應用，突出了對學生能力的考查，有一定的綜合性，其本質還是線性規劃問題，解決方法仍然同基本問題的方法類似。含參數的線性規劃可在作可行域時先將約束條件中的不含參數的不等式所表示的平面區域作出，然后再考慮含參數的不等式，可以利用嘗試的方法去研究。與向量、不等式、概率等知識相結合的問題，從題目中容易看出其中包含的線性規劃的“輪廓”還是比較清晰的，結合相關知識的內容轉化成線性規劃的基本題型不困難。

3.關于用“數學規劃”思想求解問題的題型

這類問題從形式上可能看不出線性規劃的“影子”，其約束條件隱蔽，需要進行適當的數學變形，變形后約束條件可能不是線性的，其目標函數也未必是線性的，我們可以稱之為“異化”的線性規劃問題。此類問題有一個共同特征：具備某些不等（或相等）關系的限制條件，求某個變量的范圍或最值。從下面的解答過程可見一斑。

解析：條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化為：

設 ， ，則題目轉化為：已知x，y滿足：

，求 的取值范圍。

作出（x，y）所在平面區域（如右圖）。求出y≥ex的切線的斜率e，設過切點P（x0，y0）的切線為y=ex+m（m≥

0），則 ，要

使它最小，須m=0。

∴ 的最小值在P（x0，y0）處，為e。此時，點P（x0，

y0）在y=ex上A，B之間。

當（x，y）對應點C時，

。

∴ 的最大值在C處，為7。

∴ 的取值范圍為[e，7]，即 的取值范圍是[e，7]。

三 學習啟示

高考對線性規劃的要求越來越靈活，以考查線性目標函數的最值為重點，兼顧考查代數式的幾何意義（如斜率、距

離、面積等）。多以選擇題、填空題出現，含參數的線性規劃問題也是高考的熱點。在知識交匯處命制試題更是高考試題的一個重要特點，鑒于此，在學習與復習中要緊緊抓住以下環節：

1.牢固掌握可行域的畫法

若要正確畫出可行域，首先是正確畫出每個二元一次不等式所表示的平面區域，這有兩種常用的方法：一是先畫出相應二元一次方程所表示的直線，再選取一個特殊點（如果直線不過原點則常選取原點）代入二元一次方程，計算其值的正負再結合二元一次不等式的要求，若符合，則該點所在的區域就是所求的一元二次不等式所表示的平面區域，否則該點所不在的區域為所求的區域，我們可以用一個成語形象地總結：窺一斑而知全豹。二是將一元二次不等式化為y>kx+b（或y>kx+b）的形式，若是y>kx+b形式，則所表示的平面區域一定在直線y=kx+b的上方，反之在下方。其次是用陰影表示出幾個一元二次不等式所表示的平面區域的公共部分。若邊界不等式所對應的方程是特殊形式，則容易畫出其所表示的區域，若二元一次不等式中含有等號則用實線表示，否則用虛線。

2.靈活求目標函數最值

正確畫出可行域后，將目標函數z=ax+by（b≠0）化

為 形式，通過斜率為 的直線平移求出 的

最值，這個過程中需注意：一是所求可行域的邊界與直線

傾斜程度之間的關系；二是z的系數 的正負對

z取最值的影響，當 >0時， 取得最大（小）值時，對

應的z也會取得最大（小）值，當 <0時，則恰好相反。

3.熟悉簡單數學建模問題

應用數學解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。要通過閱讀、分析、處理數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系。數學建模需要較深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力。

4.深刻領悟數學規劃思想

線性規劃蘊涵的優化思想方法是數學中的基本思想方法，線性規劃研究的是線性目標函數在線性約束條件下的最優化問題，體會了這種思想后，就會明白“一個目標函數，

其變量在某種約束條件下，就可以求該變量的最優化問題”的數學規劃思想。也就是說，目標函數和約束條件都是線性函數的情形則屬于線性規劃問題，約束條件及目標函數也可以是非線性的，我們可以用數學規劃思想去解決。

〔責任編輯：王以富〕