一道線性規劃問題的變形與引申

“線性規劃”內容從2004年至今一直是高考的必考內容之一，它經常與函數、不等式、幾何問題融合在一起，考查的形式也越來越豐富、靈活，使得沒有掌握其變化規律的學生望而生畏。

縱觀浙江省近幾年的考題來看主要呈現出這樣幾種形式：①區域面積型；②直線的截距型；③分式型：包括斜率（tan α）型，sin α型及cos α型；④距離型。有些時候雖然表面上看不是這些模型但通過適當的恒等變形總能轉化到這些模型上來。現通過對一道線性規劃題目的變形，來總結一下對于幾種不同類型的線性規劃問題的常用解法，供大家學習參考。

可行域如圖所示：

評注：運用數形結合思想，將目標函數轉化為三個基本模型即截距型、斜率型、距離型。將代數問題“幾何化”，再利用幾何知識求解。上述這些都是基本題型，現將目標函數稍作變形如下：

評注：表面上目標函數比較復雜，經過變形整理以后仍然可以轉化為“斜率型”加以解決。

評注：將目標函數轉化為“截距型”，若最優解有無窮多個，說明目標函數的斜率等于某一邊界線的斜率，已知最優解個數，求參數范圍則運用數形結合思想，通過比較有關直線的傾斜程度而直觀求解。

評注：對于含參數的線性約束條件和不同類型的目標函數，我們可以通過變形整理或是換元等技巧使目標函數轉化為三個基本模型即截距型、斜率型、距離型。充分利用數形結合的思想從幾何意義入手，這樣線性規劃問題就不難解決了。