微分中值定理的推廣及其應用

【摘 要】在高等數學教學過程中對于微分中值定理的研究過程的講解一直是我們教學的重點所在，在整個教學任務中所占的比例也是非常大的。對于微分中值定理的推廣及其應用過程的學習我們也應該加以足夠的重視，同時對于定理的證明過程這是我們往往忽視的一個方面所在。本文就結合微分中值定理的推廣及其應用這一課題進行相關的研究與論述，希望能夠對我們今后的教學過程起到一定的幫助作用。

【關鍵詞】微分中值定理；推廣與應用；探索與研究

微分中值定理的教學中很多時候學生對于一些概念的引進以及相關的運用并不是非常了解和熟練，為此這一部分的推廣與應用過程就顯得尤為重要，對于本文的研究與論述就是對于微分中值定理之間的內在聯系以及生活實際應用展開相應的探討，希望對于我們廣大學者以及教師在今后的教學中能夠奠定相應的理論基礎。

一、微分中值定理推廣及應用的重要意義所在

在進行高等數學教學過程中，微分中值定理所占的比重也是較大的，對于其推廣與應用而言也是具有十分重要的意義所在。在我們生活中很多生活實際問題的解決過程都要運用到微分中值定理，其中微分中值定理有很多結論我們可以直接用到，它不僅僅是表現出函數與導數之間的內在聯系，也是我們在進行數學研究分析過程中的重要工具，我們由此也能夠充分看出其重要性所在。

二、微分中值定理的推廣

1.微分中值定理的重要作用

微分中值定理組要有三個部分組成，對于我們實際生活中問題的解決起到了非常重要的作用。第一部分就是基本定理，其主要的觀點就是在于微分的逆運算的過程就是不定積分。這一定理在微分中值定理中的重要作用主要體現在能夠保證連續函數的原函數在某一階段的存在性。而第二部分往往被我們成為微積分，也成為微積分第二基本定理。主要表明的觀點就是定積分可以用無窮多的函數進行任意一個的計算。這對于解決實際問題具有很大的作用。第三個定力則是以一種特殊的形式出現的，主要有詹姆斯進行證明和出版。

2.微積分中值定理的基本表述形式

在對于微積分中值定理的研究過程中我們能夠充分的看出兩個不同的函數的表現形式，那就是函數和倒數。所謂導數就是反應函數在某一點的局部特征所在，我們要了解其定義域的整體特征那么就必須了解其函數中的導數，讓其函數與倒數之間建立起一種關系，這就是我們在研究微分中值定理對于函數與倒數的作用所在。而對于微分中值定理而言到了很多基本定理，主要包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理四個部分，這四個定理為函數與導數之間的練習過程搭建起了基本的橋梁，使兩者之間的內在聯系更加明顯，對于我們解決生活實際問題也奠定了相應的理論基礎和相應的實踐證明過程。在進行對中值定理的研究過程中，微分中值定理作為其基礎所在，我們通過倒數的上升和下降來判斷極值，從而得出凹形，凸形和拐點等項的重要形。從而可以實現把函數的幾何圖像能夠正確表征出來，對于我們在后期的實際應用過程中也能夠起到一定的幫助。

3.微積分中“極限”引入的必要性

在對于微積分的學習過程中，我們的首要任務就是對于“極限”的了解過程應該加以充分的重視，其原因就是在于代數的概念在人們的心里已經達到了成熟的水平，但是還存在對于“無限”的處理用代數式沒有辦法進行相關的處理過程。所以我們在進行“無限”的處理過程中就引進了無限的量這一概念，從而“無限”這一概念就由此產生了。對于“無限”的定義我們的理解過程就是通過代數的概念將“0”這一個麻煩能夠徹底繞過去，從而對于除去“0”以外都是有意義的任意小量，對于任意小量可以取任意小，只要能夠滿足在“Δ”區間之內這一個條件就可以。經過這樣的實踐證明，我們就能夠看出張格格推理過程是完全正確的，從而對于這個概念的引入也是成功的，其必要性我們也能夠充分的看出。

4.微分中值定理與實際應用聯系

微分中值定理的發展離不開實際應用的過程，在我們現實生活之中，對于天文、力學、社會科學以及生物工程學的發展都起到了一定的積極作用，從而對于學科分支的出現也做出了積極的貢獻。在微分中值定理的應用過程中，其發展的領域范圍也越來越廣，在計算機的發明以及應用過程的發展也起到了不可代替的作用。而對于我們生存的物質世界中，一切事物的發展都是在運動和變化中不斷進行的，達到整個宇宙，小到一顆粒子。正是因為這個愿意我們在數學中將變量的概念能夠得以引進并且進行了不斷的發展，從而這些運動現象才能夠在數學的范疇中得以充分的描述。對于函數的概念已經用過程，我們則是通過長時間科學技術發展的需要逐步探索出來的新的數學分支。在解析幾何出現后就產生了微積分學，其發展的重要性也是不言而喻的，也是在數學領域最大的創造傳奇所在。

三、微分中值定理的應用

1.對于不等式與等式證明中的應用

在對于一些不等式的證明過程之中，我們以往的思維方式會出現思維定時的情況，頭腦經常會陷入對于原來的式子我們要從哪里開始證明或者從哪證明這樣的怪圈，使得我們的證明過程過于刻意，對于其他的聯系過程我們并沒有意識到，對于本身的不等式的證明過程只能按照原有的意思進行展開。現在就有這樣的一個推論，如果函數在區間上可導，且中值定理則是I上的一個常量函數。幾何意義我們自然就能夠充分的看出為斜率處處為0的曲線一定是平行于y軸的直線，其證明過程就是拉格朗日中值定理所體現的。

2.關于方程根的討論

在進行對方程根的討論過程中，我們能夠發現無窮大與無窮小之間的極限有可能存在，我們設想如果兩者的關系一旦存在那么極限值也會不盡相同，這一點我們也可以稱之為在型不定式的極限或者是量之比的極限。我們解決這兩個極限的問題通常所采用的方法是洛比達法則。我們在進行計算的過程中往往會直接運用其結論，但是我們對于其證明過程很少注意到，然而這一法則恰恰是運用了中值定理來進行證明過程的。

3.微分中值定理之間的關系應用

在進行對一元函數微分學的研究過程中，對于微分中值定理應用的局部性質以及函數在區間上的整體性的研究中，中值定理就是其主要的工具之一。它對于數學中的分析過程起到了重要的作用，同時拉格朗日中值定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西定理是起推廣作用的。這些定理在一定程度上都具有一定的聯系，從而我們在進行實際運用過程中才能夠解決其問題。其基本的特點就是在于將定理中的“可微性”概念進行不斷的拓寬，對于微分中值定理的表達式的建立奠定相應的理論基礎，同時對于微分中值定理在數學中的應用開闊了天地。為今后的實際應用過程打下堅實的基礎。

以上就是我們在對于《微分中值定理的推廣及其應用》進行的相關研究過程，對于微分中值定理的推廣以及微分中值定理的應用進行了分開研究，希望能夠對我們廣大學者在今后的繼續的研究過程中打下堅實的基礎。本文研究過程中觀點還存在著一定的不足，希望能夠得到廣大學者及老師們的積極意見與建議。

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