淺析小學分數應用問題的數理關系和解題方法

應用題的教學在小學數學教學中是一個非常重要的環節，而分數應用題又占有相當的比重。在教師的教學實踐過程中，往往會出現教師教得累，學生學得難，效果事倍功半。因此，為解決這一矛盾，妥善處理教與學，需要對分數應用題的基本數理關系進行分析，然后運用相應的解法。

一般而言，分數應用題都有兩個同類量和一個不名數幾分之幾，就是這個“幾分之幾”是分數應用題區別于整、小數應用題的重要標志。在教學過程中，我們把分數應用題歸結為三種基本題型。即：“求一個數是另一個數的幾分之幾”的應用題；“求一個數的幾分之幾是多少”的應用題；“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的應用題。下面就這三類基本題型進行數理關系分析并提出相應的解法。

一、“求一個數是另一個數的幾分之幾”的應用題

簡單的“求一個數是另一個數的幾分之幾”的應用題，往往能直接看出題中的數量關系，解題也較容易。例如：

六（1）班有學生45人，其中女生20人，女生人數占全班人數的幾分之幾？

分析：題目中要求女生人數占全班人數的幾分之幾，要把全班人數看作單位“1”。根據分數的意義，把全班人數（45人）平均分成45份，每份為1人，1人占全班人數的■，女生有20人，就是20個■，即■。

解法：列式為20÷45=■=■。在這里，可以把20看作比較數，把45看作標準數，把求出的■看作分率。直接用數量關系式“分率=比較數÷標準數”列式計算。

此類題型稍作變化，會變得較復雜，常常讓學生出現誤解。

二、“求一個數的幾分之幾是多少”的應用題

這類應用問題實質上就是分數乘法應用題，可根據一個數乘幾分之幾的意義列式計算。例如：

學校買來100千克白菜，吃了■，吃了多少千克？

分析：題中已知了兩個條件是“學校買來100千克白菜”和“吃了■”，這里把學校買來白菜的總量看作單位“1”的量，要求“吃了多少千克”，就是求100千克的■是多少。

解法：列式為100×■=80（千克）。這里把100看作標準數，把■看作所對應的分率，要求的80看作比較數，其數量關系式可表示為“比較數=標準數×對應分率”。

上一題中的■是可以“直接”看出的對應分率，但有些題中把對應分率“間接”化了，即不能直接找到，所以要通過分析審題，找出所對應的分率后，才能正確解題。

三、“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的應用題

“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的應用題是“求一個數的幾分之幾是多少”的應用題的逆問題。在該類題型中，條件是“已知了單位‘1’的幾分之幾是多少”，這里的幾分之幾和多少都是已知條件，而作為單位“1”的標準數卻是未知的，是要求的。這類題型在教材中的解法是方程解法，但學生在用方程解法的過程中，碰到較復雜的方程式時，常常受到解方程能力的局限，出現錯誤或無法求出方程的解。作為教師，應培養學生多種思維能力，教會學生一題多解，因人而異，因題而異，分析數量關系，尋求便捷的解題方法。例如：

一條褲子72元，是一件上衣價錢的■，一件上衣多少錢？

分析：題中“一條褲子是一件上衣價錢的■”，“一件上衣的價錢”是單位“1”量，褲子價錢所對應的分率是■，寫成關系式是：上衣的價錢×■=褲子的價錢，根據除法的意義，把這個關系式改寫成除法關系式是：褲子的價錢÷■=上衣的價錢。

解法：列式為72÷■=108（元），數量關系式表示為：標準數=比較數÷分率。

與上一題型同樣，這一類題中也會把對應分率“間接”化。例如：

某工廠四月份燒煤120噸，比原計劃節約了■，四月份原計劃燒煤多少噸？

如果按上述方法分析，可知原計劃燒煤量是單位“1”，為標準數，實際燒煤量“（1-■）”，為比較數，就會很簡單地列出式子120÷（1-■）。故可得出此類題型的數量關系式：標準數=比較數÷（1-■）。

綜上所述，雖然分數應用題有著三種基本類型，可根據三種固定的數量關系式進行列式解答，但應用題反映的是多種多樣的實際問題，需要學生根據題中的情節和數量關系，選擇適當的解題和運算方法，最后求得應用題的正確解答。

（作者單位 江西省九江市永修縣艾城中心小學）

編輯 陳鮮艷