數學化思想及其在數學問題解決教學中的應用解析

【摘 要】數學思想的根本就是讓學生了解數學理論，認識數學本質，讓學生通過對數學思想的掌握去更好的學習數學。通過實踐證明，將數學思想應用到數學教學中去對于學生學習質量的提高也有顯著幫助。本文將就將數學思想應用在數學教育中的實際意義做簡單闡述。

【關鍵詞】數學思想 數學教育 教育思想

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2013.10.017

數學思想這一名詞即使是在今天的數學教程里仍不多見，但無論是從小學的加減乘除、初中的三元一次方程，亦或是高中時的函數或者高等數學中的微積分，數學思想其實一直都在被教育者有意無意的灌輸給學生，在潛移默化間對學生學習數學產生一定影響。但在教育初期這些數學思想還很難明確，而隨著教育的不斷加深，這些定義又開始出現出現混淆。其實較為常見的數學思想共有四類：函數與方程、轉化與化歸、分類討論，數形結合。本文將就這四類數學思想做逐一闡述。

一、函數與方程

函數思想是指用函數的概念去分析、化解，最終解決問題。其特點是通過對于問題中數學特性的觀察、研究，在其中建立函數關系，再通過對其中的聯系與變化的規律，得出最終答案。學生最早接觸函數是初中時期的三角函數。三角函數是函數中較為基礎也十分具有代表性的一門學科，其常量數字極易計算，如正弦（sin）等于對邊比斜邊；余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；正切（tan）等于對邊比鄰邊；余切（cot）等于鄰邊比對邊。且其常量間的關系也極易確定，如tanα·cotα=1；sinα·cscα=1；cosα·secα=1；sin2α+cos2α=1；1+tan2α=sec2α；1+cot2α=csc2α。而且其題型變化，求解方式都極為有限，并不能算是一門難學的學科。但即使這樣有些學生還是不能很好的去理解函數是怎么一回事，甚至有些學生在將函數當做方程來解。

方程思想是從問題的關系量中將問題中的條件轉化為方程式（方程、不等式，以及兩者的混合組），然后再由關系量中的變化求解。方程與函數不同，其難點并不在于解題的過程，更多的是在于方程的確立。只有正確的方程式才能得出正確的答案。

二、轉化與化歸

轉化與化歸嚴格來說是屬于同一概念的兩個部分，轉化是將題中未知（或不同）的量轉化為已知（或單一）的量，化歸則是將轉化完的算式進行簡化與歸類，從而使解更容易得出。這一概念，在初中教材里的二元一次方程已有所體現。

以①3x+2y=7；②5x-2y=1為例。

當遇到類似這樣的題，首先應做的便是轉化，將其中一個變量轉化為另一個變量。

解：

由5x-2y=1得，2y=5x-1，

將其代入算式：3x+2y=7，則可轉化為：3x+5x-1=7，x=1。

再將x=1代入3x+2y=7中，則y=2。

在題中可以看出，x、y是兩個未知的量，但通過已知條件來進行計算，則可以使兩個未知的量轉變為一個，再通過與已知量的計算，則可求出其中一個未知量的值。其實這就是一個轉化與化歸的過程，這道例題雖然較為簡單，但卻很好的說明了轉化與化歸的關系。只要理解了什么是轉化，什么是化歸，即使題型變得再怎么復雜，求解也不過只是時間問題而已。

三、分類討論

分類討論思想是指當問題結論并非唯一，或有些問題結論無法統一時，則要根基問題的特點及要求，將其分成幾類小問題再逐一解決。分類討論主要分為概念醒，及問題涉及到的概念是需將定義分類的。例如|a|中，a值在不同大小的情況下，其定義也會隨之發生改變；性質型，如當問題中的定理、公式以及運算性質被限制條件或范圍，或者其根本是分類提出時，如等比數列的前n項和的公式，則需q=1或q≠1兩種情況；含參型。當題目的解中含有參數時，則需根據參數的取值范圍來進行討論，例如不等式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。對于學生而言，解一道需分類討論的題目幾乎等同于同時解多道題目，且題目之間又存在著相互影響的關系，所以在解此類題型時應注意這幾大原則：將需分類的每一個部分獨立化；分類時應統一標準；不可越級討論。例如在解有關x的方程（a-1）x2-2ax+a=0時，則應考慮（a-1）在不同情況下的解法，若（a-1）=0，則說明a=1，反之則a≠1，然后根據這兩種情況分別進行就算。

以學生而言，在掌握此類方法的初期，其難點在于如何確定討論的關鍵點。以上一題為例，有些學生甚至會將x確定為變量，通過x去求a的值。要避免這種情況，應首先明確要求的值是什么，然后在題中尋找到會直接影響所求值的結果的因素，那就是討論關鍵點。

四、數形結合

數形結合思想的本質就是根據數與形的對應關系，如實數與數軸、曲線與方程。再通過數與形之間的相互轉化來實現對數學問題的的解決。該種思想的優點在于能將抽象的數學定義直觀化，可以通過數與形之間關系的確立，讓學生更明確的知道定量與變量、已知與未知之間的關系。

例題：a、b、x、y都是實數，且a2+b2=1，x2+y2=1。求證：ax+by≤1。

這時則可通過數形結合思想來進行解題。

首先，作直徑AB=1的圓，在AB兩邊任意作Rt△ACB和Rt三角形ADB，使AC=a，BC=b，BD=x，AD=y。接下來便能可通過勾股定理以及托勒密定力來求證。

數形結合思想包括“以形助數”和“以數輔形”。但與純代數不同，數形結合除了需要嚴謹的邏輯之外還需要學生有立體思考能力，能這種能力的培養，更多的則是依賴于教育者的指導方法。

結束語：數學思想對于數學教學所起到的作用是巨大的，而其應用到教學中的關鍵除了學生自身原因，更多則依賴于教育者的有效引導。數學是一門需要很好的邏輯性才能真正理解的學科，而當學生不具備這種邏輯能力的時候，身為教育者不應將學生放在一邊，不聞不問，而是要加以有效地引導。正所謂：有教無類。

參考文獻

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