動中“尋”定

摘要：有一類動態數學問題要求探尋定點、定值情況，該問題能充分體現學生的數學能力和數學素養，解決這類問題關鍵是要學會用特殊位置或極限等思想方法先得結果，再用通性通法來進行嚴密論證。

關鍵詞：動態問題 定點 定值 特殊位置 極限思想

在好多數學綜合試題，尤其是平面解析幾何中的壓軸題中，經常以“動直線是否過定點”，“直線的斜率是否為定值”等問題來考察學生的自主探索能力，解這一類問題能充分體現學生的數學能力和數學素養，解決這類問題關鍵是要學會用特殊位置或極限等思想方法得結果，再用通性通法來進行論證。下面舉例說明：

例：設點E、F分別是橢圓C： 的左、右焦點，過點E垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于A、B兩點，是正三角形

（1）求橢圓的離心率；

（2）設橢圓C的焦距為2，過點且不與坐標軸重合的直線交橢圓C于M、N兩點，點M關于x軸的對稱點為M′。求證：直線過軸一定點，并求此定點坐標。（九江市2012屆高三第一次模擬考試試題第20題）

分析：（1）問由橢圓定義可知

（2）由題意知，用幾何畫板作出圖，拖動M點，使得點M與點N越來越接近，極限位置就是點M、N重合，即過點作橢圓的切線，此時仍然垂直x軸，則定點的橫坐標就是切點的橫坐標，因此在計算過程中就有目標了。

變式訓練：

1.已知橢圓C： ，過右焦點F作兩條傾斜角互補的直線分別與橢圓交于 軸上方的A、B兩點，試證明直線AB過 軸一定點，并求此定點坐標。

分析：先用特殊情況找出定點坐標，再證明。具體一點講就是當傾斜角都是90°時，則A、B兩點重合，由橢圓的割線變成了橢圓的切線，且切點與右焦點F的橫坐標相同，如圖，這樣只需要找相應切線與 軸交點，即為所求的定點。因此定點就是（2，0） 。再證明

已知橢圓 ）的離心率為 ，并且

直線 是拋物線 的一條切線（1）

求橢圓的方程； （2）過點 的動直線 交橢圓C于A、B兩點，試問在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在求出定點坐標，不存在請說明理由。

分析：（1）由已知條件易知橢圓方程： ；

（2）先用特殊情況找出定點坐標，再證明。考慮過點

總之，此類問題的解決如果選擇了特殊情況或極限思想先得結果，再用基本思維來證明或求解，成功率會大大增加，希望同學們加強這方面的訓練。