站在系統的高度進行數學教學

【摘 要】站在系統的高度進行數學教學，不僅能使學生形成良好的數學認知結構。 還能使學生有計劃和有謀略地思考和解決問題。站在系統的高度進行數學教學的具體做法是：站在系統的高度進行數學新授課教學；站在系統的高度引導學生構建數學命題聯想系統；站在系統的高度引導學生總結解題模塊；站在系統的高度進行數學復習課教學；站在系統的高度進行數學變式教學。

【關鍵詞】系統高度；數學教學；認知結構

站在系統的高度進行數學教學，是指在數學教學中，著眼于數學知識之間的聯系與規律，著眼于數學思想方法的滲透，讓知識、思想方法總是以系統中的一個環節的面貌出現在學生的面前。 如果教師總是站在系統的高度進行數學教學，那么學生也總是站在系統的高度去學習數學，掌握數學知識之間的聯系與規律。這不僅擴大了意元，增加了記憶的強度，而且還增加了“數學知識組塊”，使學生形成良好的數學認知結構。那么，學生在問題解決時，他就會在長時記憶中便于激活和提取，就會有計劃和有謀略地思維和解決問題。下面筆者結合自己的教學實踐，談點粗淺的體會。

一、站在系統的高度進行數學新授課教學

數學學習是特別講究系統性的學習，只有在系統上把握各個局部，才能獲得對數學知識的真正理解。教師在平時的新授課教學中，不應以孤立的、割裂的觀點去教新知識。而應對所教的新知識能夠統觀全局，對每項知識本身以及與其它知識的內在關系應有清楚的認識，對蘊含在知識背后中的數學思想方法有透徹的理解，這樣才能在數學教學中自覺地站在系統的高度去傳輸知識。

例如，一元一次方程解法的內容，教科書安排的一節課往往只講一個知識點或技能，學生需經過較長時間的學習之后才能回過頭來進行小結，這樣不利于培養學生把握全局，吃透基本原理的能力，以致學生只關心學會了方程解法的五步驟，而不注意學會了怎樣思考及解題策略。在一元一次方程的教學中，有些教師進行千篇一律的五步驟解法，教得太“死”，學生學得不“活”。限制了學生創新能力的提高。筆者認為，對于學生，不應滿足表面文字的學會，還要深入理解概念、原理、方法等的精神實質。事實上，解一元一次方程五個步驟的實質是：在保持方程同解的條件下，通過方程變形把只含未知數的項，只含已知數的項分別集中到方程的兩邊，并把未知數的系數變為1。有了這點認識，在求解一元一次方程時就不僅能掌握住“程序”，而且能夠靈活變通。因此，在教學中，筆者先通過對學生起點能力的分析，學生已經知道了ax=b是最簡方程，根據方程的同解原理即得x=b/a，接著讓學生觀察指出下列方程的解各是什么？

對于方程（1）和（2）學生能用觀察法把它們化成最簡方程ax=b的形式并能找出它們的解，但對（3）和（4）用觀察法求解就有困難了，怎么辦呢？一個最好的辦法就是引發學生思考。即讓學生將（3）和（4）與（1）和（2）比較異同，讓學生自己發現其差異是（3）式多了括號，（4）式多了分母，由此去分母、去括號的想法自然產生，可謂水到渠成。緊接著老師乘勝追擊，進一步告訴學生解含字母系數方程是完全相同的。通過教學，學生學到的不是一個類型的習題怎么做，而是學會了解題的基本原理和方法，即在化歸思想的指導下，運用去分母、去括號等手段將方程轉換為最簡方程ax=b。這樣學生碰到解一元一次方程，就不會生搬硬套地按“五步驟”去解，而會靈活、簡潔地解一元一次方程，同時也豐富了元認知知識。從這個案例我們也看到，站在系統的高度進行數學新授課教學，既節約了時間，又提高了教學效率，從而提高了數學教學質量。

二、站在系統的高度引導學生構建數學命題聯想系統

數學解題往往是不斷地轉換，由命題A聯想到命題B，由命題B再聯想到命題C，通過聯想，把兩個或多個命題按照一定的需要聯系在一起，深深地印刻在頭腦中，就形成了一個認知結構——命題聯想系統。如在平面幾何證題中，要證明線段相等，我們往往讓學生先思考證明線段相等的途徑，即可利用全等三角形；利用等角對等邊；利用三線合一：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；利用平行四邊形的性質等等，這實質上是在引導學生構建數學命題聯想系統。命題聯想系統具有思維的廣闊性和開放性，將使我們的解題更靈活，特別對綜合題、難度較大的題、開放題作用更大。教師在平時的教學中要特別重視。例如下面例題的教學，我是這樣引導學生聯想的。

在解題的時候，有的人常常在某個環節上卡住了，但別人一點，馬上就又做得下去，這是一種想不到的思維障礙，但有人卻能夠突破這層障礙，想到解決問題的關鍵，實現起點與目標之間的連接，這常常是命題聯想系統在起作用。所以在解題教學中，教師要重視引導學生構建數學命題聯想系統，提高學生數學問題解決的能力。

三、站在系統的高度引導學生總結解題模塊

在學生頭腦里對某類數學問題的解決方法的結構，就是解題模塊。是數學特有的認知結構系統。解題模塊不但具有操作性，還體現了數學的本質，反映了背后的數學思想方法，使學生享受到數學的結構美，再經過適當的練習，它在學生的工作記憶中就會以一個自動化的圖式來處理，也就是說學生獲得了自動化的圖式。從而促進了數學技能的自動化和解題能力的遷移。

在數學教學中，可以讓學生自己從具體問題的解答中總結出解題模塊，例如，筆者在教學“解直角三角形”這節習題課時，讓學生自己總結解題模塊，即

第一步：尋找或構造直角三角形。

第二步：觀察該直角三角形里，有沒有兩個獨立的條件。

（1）如果有，利用勾股定理和銳角三角比直接解——直接法，其中含有基本量思想。

（2）如果沒有，設一個元素為x，此時必定還有一個條件沒有用到，利用它列方程──間接法，其中含有方程思想。

其框圖形式如下：

專家頭腦里的知識是以組塊的形式出現的。學生頭腦里的圖式——解題模塊能夠很快地對習題作出反映。總結解題模塊的過程，有比較、有分類、有抽象、有尋找聯系等等，是系統組織的過程，思維要求很高，這本身是一種創造性思維。所以站在系統的高度引導學生總結解題模塊，對提高學生的創造能力極為有益。

四、站在系統的高度進行數學復習課教學

布魯納指出：獲得的知識，如果沒有完備的結構把它聯在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。教學是循序漸進的過程，學生獲得的知識是一點一滴積累起來的，經過一段學習時間后，教師要善于教給學生學會加工整理知識的方法，把一些相近、易混淆的概念串成鎖鏈，編成網絡，配以圖示，縱橫聯系，使學生獲得的是一個有序的數學概念知識系統，從整體中看部分，從部分中體現整體，這樣得到的知識才牢固，易于遷移。

例如：在復習“平行線與相交線”時，我讓學生自己編織如下的知識網絡圖：

復習課教學中讓學生自己編織知識網絡圖，不但幫助學生構建了完整有效的知識網絡，提升了邏輯思維能力，而且提高了數學復習課的教學效率。

五、站在系統的高度進行數學變式教學的教學案例

在變式教學中，組織變式的題目要具有內在的聯系性、系統性，以便于學生通過對各個題目的分析，概括出各種共有的、本質的東西，以達到一題向另一題的遷移.在這個環節中，主要是數學問題變式設計，教師要根據學習目標和學生交流中所反饋的信息，站在系統的高度，精心選編題目，最初的變式題設計應與例、習題較為相似，最后過渡到學生感到陌生的新穎題目上。

變式題組一是原題目的重復，是再認（重復性）題目，認知的功能是“鞏固”，學生經過表面相似問題的解決，可能會形成一種心理定勢，建立分解因式方法的數學結構。

變式題組二是發展性題目，認知的功能是扮演“發展”角色。它逐步增加認知負荷，驅動高層的數學思維，增加深層策略，把原來的智慧技能轉化為策略性知識。

在這個例子中，通過對原問題進行多角度、多方面的變式，使知識以“系統中的知識”的面貌出現在學生的面前，使學生養成從系統的高度去把握知識和進行思考的習慣.同時還使學生體驗到新知識是如何從已知知識逐漸演變或發展而來，從而理解知識的來龍去脈，形成良好的數學知識系統，進而促進遷移。

六、結束語

站在系統的高度進行數學教學，增加了學生的“數學知識組塊”， 正是由于這些組塊中知識之間的內在聯系，使得學生在知識的研究系統建構過程中積累起來的經驗，可以遷移到其它知識或專題的研究、學習中去，這樣多次的學習經驗將促進學生學習能力和研究能力的提升。

參考文獻：

[1]曹才翰，章建躍.初中數學課堂結構[M]長沙：湖南教育出版社，1996（11）

[2]約翰·D·布蘭思福特.人是如何學習的——大腦、心理、經驗及學校[M]程可拉譯.上海：華東師范大學出版社，2002