展望教育：一道小題目的啟發(fā)

幾個星期以前，有一位學生問了我一道能力提高題，這是一道“旋轉”范疇的題目：

已知在等腰直角三角形中，，AB=AC，三角形中有一點P，且PC=2，PA=4，PB=6，求.

這個題目的數(shù)據和條件都設置得非常巧妙，是初中數(shù)學“旋轉”部分內容中的一個比較經典的題目，旋轉的方法在解題的過程中起到了至關重要的重要，下面給出這個題目的求解方法。

解：如圖：對作旋轉，使邊AC與邊AB互相重合，則有，且AP’=AP=4，。

且由于，，

則，。

運用勾股定理，可以計算：。

由于，所以，所以是直角三角形，因此

。

解答完畢。

從上面的解答過程可以看到，這個題目考查了等腰三角形與直角三角形的性質，以及旋轉的應用，是一道比較有趣的題目。相應的我們還有關于等邊三角形的相類似的題目。

例：已知在等邊三角形中有一點P，且PC=3，PA=4，PB=5，求.

上面這個題目同樣的可以應用“旋轉――等腰（等邊）三角形――勾股定理”這一步驟得到解答。

這個時候我自然地想到，如果將第一題目中的各已知線段的長度稍加改變，是否依然可以解出？或者說任意地在中取一點P，并且已各PA，PB，PC的長度，是否可以確定這個三角形中的角？是否“旋轉――等腰（等邊）三角形――勾股定理”這一步驟總是有效的？

我們可以試試：如圖：對于等腰直角三角形，PA=a，PB=c，PC=b，只有當，時，才能就用應用勾股定理得到的大小。同樣的對于等邊三角形，只有當時才能應用勾股定理得到的大小。整理一下，得到“定理1 對于等腰直角三角形，只有當，時，才能就用應用勾股定理得到的大小。同樣的對于等邊三角形，只有當時才能應用勾股定理得到的大小。

很自然的，我們會問，如果上面的a，b，c 不滿足上述定理中的條件，是否依然可以得到的大小？答案是肯定的，但是前提是要用到高中數(shù)學中的余弦定理。

余弦定理：中，已知邊a，b 及其夾角C，則邊。

若已知三邊長a，b，c，則有：（請補充其他四條。）

定理2 如果在等腰直角三角形中有一點P，且PA=a，PB=c，PC=b，則總可以求出的大小。

證明：我們可以應用上述的“旋轉――等腰（等邊）三角形――勾股定理”步驟，但是其中的勾股定理要換作余弦定理，即可以得到，則，查表可以得到的值，于是由，可以得到的大小。

于是我們又可以得到另一個關于等邊三角形的結論：

定理3 如果在等邊三角形中有一點P，且PA=a，PB=c，PC=b，則總可以根據“旋轉――等腰（等邊）三角形――余弦定理”的步驟求出的大小。

我們要大膽地問一句，對一般的三角形，是否也可以用“旋轉――等腰（等邊）三角形――余弦定理”的步驟來求得的大小，從上面的過程中，我們知道為了能使用“旋轉”，要保證至少是等腰三角形，而且我們還要得到一個進一步的結論：

定理4 如果在等腰三角形中有一點P，且PA=a，PB=c，PC=b，且已知頂角的大小，則總可以根據“旋轉――等腰（等邊）三角形――余弦定理”的步驟求出的大小，而且可以得到的各邊長。

證明：這只是再應用一次余弦定理而已，請補充完整。

可以再進一步地作出猜想，如果在一般的三角形中，已經其中一個角已經，三角形中一點到三個頂點的距離為PA=a，PB=c，PC=b，則可以計算出該三角形的各個角大小及各邊長。這是正弦定理和余弦定理的結合應用。

定理5 如果在一般的三角形中，已經其中一個角已經，三角形中一點到三個頂點的距離為PA=a，PB=c，PC=b，則可以計算出該三角形的各個角大小及各邊長。（證明略）

最后一個結論是比較廣泛的結論，從特殊的等腰等邊三角形獲得的推廣，這從另一個方面體現(xiàn)了三角形的一個鮮為人知的性質。

同時，從另一個方面來說，初中數(shù)學中一些無法解決的問題，可以應用高中數(shù)學得到很直接的解答，我們希望通過這個例子，向愛好數(shù)學的初中的學生展示高中數(shù)學的一些魅力。

我們從一道題目中得到了一個令人有些意想不到的結果，獲得了一些令人振奮的結論，所以也希望以此來傳達一種開拓思路，樂于思考的精神。我們只有從已知的知識中大膽探索一些以前沒有想過的問題，才能在對于知識的理解上獲得進一步的提高，有句話說“沒有做不到，只有想不到”，學習數(shù)學就是要敢于去想，大膽去想，當然，有一些問題我們未必能夠在現(xiàn)有的知識水平上得到解決，但是隨著學生知識的增長，將會在將來成功地解決那些以前無法解決的問題，所以我們希望學生在學習的時候能夠有一種展望的精神，就是不單單能解決目前的課本的，練習冊中的問題，還能夠自己去尋找一些新的問題，一些可能解決得了的，一些可能解決不了的，帶著這些解決不了的問題，學生將會獲得更高的學習熱情，這會更大地刺激他們的學習神經，進而產生巨大的學習動力。

總之就是，大膽思考，挖掘問題，敢于展望，開拓進取。