分段函數分段點處可導性的討論

摘 要：分段函數是高等數學中一種重要的函數，該文討論了分段函數分段點處的可導性，并給出了求分段函數分段點處導數的幾種方法。

關鍵詞：分段函數 分段點 可導

中圖分類號：O172.文獻標識碼：A文章編號：1674-098X（2013）05（C）-0168-02

函數是高等數學的研究對象，分段函數也不例外。分段函數一般而言不是初等函數，但在教學過程中經常涉及到。而導數是研究函數性態的重要工具，因此分段函數分段點處的連續性與可導性問題是高等數學教學中一重點，同時也是難點，討論分段函數分段點處的連續性與可導性的題目也是各級各類考試中的常見題型。

1 分段函數分段點處的可導性

根據函數在一點處的導數的定義——函數增量與自變量增量的比值當自變量增量趨于零時的極限，知一點處的導數指的是函數在該點處的變化率問題，不是孤立的，與附近的函數關系有關。分段函數是在自變量的不同取值范圍內函數的表達式不同，因此在分段函數分段點的兩側函數表達式不同，這時要考慮分段點處的導數是就需求導數定義式的左、右極限，即左、右導數。由于左、右導數存在且相等是導數存在的充分必要條件，因此若左、右導數存在且相等則函數在分段點處可導，若左、右導數至少一個不存在，則函數在分段點處不可導。下面我們結合一些例子來討論分段函數分段點處的導數的計算方法。

2 分段函數分段點處的導數計算

2.1 用定義求分段函數分段點處的導數