新課程數學教學中必須加強發散思維的培養

《高中數學課程標準》的一個理念就是：學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。這些方式使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。美國心理學家吉爾福特說過：“人的創造力主要依靠發散思維，它是創造思維的主要成分。”徐利治教授則說：“數學的新思想、新概念和新方法往往來源于發散思維。”發散思維是多角度、多方位思考，尋求變異，探索多種解決問題的方案或新途徑的思維形式，具有流暢性、變通性、獨特性等特點。中學生具有好奇、好勝、敢想、敢創等心理特點，他們的思維具有創新求異的潛質，教師應充分發掘中學生心理特點的優勢，在教學中精心培養學生發散思維能力。

一、構建“數學認知結構”，培養思維“流暢性”

在教師用書的首頁說明中，新課程倡導教師通過不同數學內容的聯系與啟發，強調類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的應用，認知心理學關于學習機制的最新研究成果揭示了學習主動性的本質是認識主體的主動建構。注重創設有利于學生自己領悟、建構、能引起認知沖突的問題情景，以使學生在原有知識基礎（已知區）和所要完成的學習目標（未知區）之間搭建支架（最近發展區），形成由淺入深的臺階（知識增長點），便于新知識的內悟、同化或順應。

案例1 在《等比數列》教學中，借用選修2-2中《合情推理》，通過定義內涵的類比、外延類比，通過公式（通項公式及其推導方法、前n項和）的結構類比，運用知識的解法類比等等，在類比和自主選擇中學習、理解、掌握等比數列的有關知識。教學中要給學生提供展示的機會，鼓勵猜想，并加以引導，充分保護那份可貴的好奇心，同時還要給學生自由的討論機會，進一步解決問題。

思維流暢性與思維邏輯性直接相關，在教學中既要注意使知識在層次上不斷深化，更要注意把新知識及時納入已有的知識體系，做到善于把問題轉換化歸，善于使用數學模式，勉勵學生在大腦記憶中構建“數學認知結構”，形成一個條理化、網絡化的系統。在解題時就能由題目所提供的要素，在系統的網絡中較快地檢索到有關信息，尋找到較準確的解題途徑，優化解題過程。例如，求函數的值域（或最值問題）應幫助學生歸納出如下數學思想方法：求導法、配方法、利用單調性、基本不等式法、數形結合法、換元法等。這樣，學生在解有關值域（最值）問題時，就不會像“玻璃窗上蒼蠅——亂碰亂闖”，達到心智活動暢通少阻，靈敏迅速。

案例2 已知y=（log2x-1）log2ab-6log2x logab+ log2x+1

（a>0 且a ≠1，a為常數），當x在區間[1，2]內任意取值時，y的值恒為正，求b的取值范圍。

本題的情景陌生，變元較多，很難找到切入口，許多學生只能望題興嘆，如果令log2x=t，則問題就轉化為“關于t的一次函數或常函數f(t)= ( log2ab-6 logab+1)t+1- log2ab在[0，1]上的值恒正，求b的取值范圍。”這是同學們十分熟悉的基本題型。

二、學生學會多方位思考，培養思維的“變通性”

榜樣的示范作用對發散思維的訓練是不容忽視的。如在《等差數列求和公式》的教學中，數學家高斯10歲時他的數學老師為了回家關煤氣爐，出“1+2+3+…+100”這道題，高斯認為老師應該不是要學生從頭加，他就倒過來加，感覺是一樣算法，利用數學的對稱美發現了快速的計算方法。讓學生感受要從不同的角度尋找解題的突破口。

不少學生總習慣于搬用已有的經驗，機械模仿，表現出思維的依賴性、呆板性。為了幫助學生克服思維定勢的負遷移，筆者采取如下對策：（1）有意巧設“陷阱”，讓學生在“掉井”后驚呼上當。如判斷y=x2，x∈[-1，2]的奇偶性？（2）變換提問方式，創造新穎設問方式，例如，“m為何實數時，不等式x2-mx+1>0的解集為R？”可變換提問為：“當m為何實數時，y=x2-mx+1與x軸無交點？”或“當m為何實數時，函數y=x2-mx+1無零點？”（3）改進教法，激發學生創新意識。通過這種有意識的加強訓練，提高學生隨機應變能力，培養了學生發散思維的變通性。

在教學中，教師若能抓住一切有利時機，精心設計一些旨在發展學生發散性思維的多解性（一題多解）例題，經常有意識地啟發引導學生從不同的方向，變換思維角度進行廣泛探索與求解，這不僅有利于培養學生“變通性”思維的能力，而且對提高學生的創新意識也是大有裨益的。

案例3 已知圓的方程：x2+y2=4，求過點A(1， )的切線方程

法一：待定系數法 可設所求切線方程為：y-=k(x-1)代數法，方程組的解得問題；

法二：依題意可設所求切線方程為：y-=k(x-1) 幾何法 利用d=r

法三 ∵kOA==

OA⊥l借助平面幾何圓的性質，數形結合。

三、在探究活動中，培養思維的“獨特性”

數學探究有機地滲透在每個模塊教學和習題設置中，如何利用教材設置的數學問題，引導學生進行有價值的數學探究？在例、習題教學中，在學生掌握基本方法的同時，應在學生思維的“最近發展區”內，有意識地創設新的思維情境，激勵學生不依常規、不受教材與教師傳授的方法的束縛，引導學生多角度、全方位地思考問題，鼓勵學生標新立異、探究新解，達到鍛煉學生思維創造的目的，切實改進學生的學習方式。同時以“變”的魅力來深深地吸引他們的好奇心、好勝心，促使學生愛好數學。

案例4 《人教A版必修2 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系》中的例2教學中，（1）若把條件改為：E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，且===≠1，那么四邊形EFGH是什么圖形？為什么？（2）在例2中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形？探究活動（1）是對它橫向的拓寬，

探究活動（2）是對它縱向的深入，將條件再改為“=，=”弱化了一個條件后，結論又如何？而條件“AC=BD”的加入，四邊形的形狀又有了質的變化，若加入“AC⊥BD”又會怎么樣。這一探究活動，學生體驗了數學知識的千變萬化，通過橫向的拓寬和縱向的深入，設常量為變量拓展問題；弱化或強化條件與結論，揭示出它與某類問題的聯系與區別，并變更出新的命題。這樣，無論從內容的發散，還是解題思維的深入，都讓學生體驗到如何將數學知識進行變更，在解決相關問題時也能得心應手。對學生在探究活動中表現出來的新異獨特的思考方法和解題思路要表示極大的贊賞，并不失時機地激勵學生把學習探究變成自己求知的一大樂趣。

在教學中要善于抓住發散思維、學生心理、新教材三方面特點的契合點，精心設計一個個較好的發散思維情景，創造一個個利于培養學生發散思維的機會，不斷拓展發散思維的空間，及時鼓勵贊美學生，激發學習興趣，敢于打破思維定勢的框套，為創新能力打好基礎。