淺談中學數學中有關梯形的證明與計算

摘要：中學數學中幾何證明與計算是數學學科中的主要部分，在中考中占有較大的比例，在中學數學學習中也是一個難點，特別是涉及輔助線的作法，更是中學生頭痛的問題，這就需要教師在平時的教學中加強訓練，以提高學生的解題能力。

關鍵詞：數學證明；輔助線；解題方法

梯形是人教版八年級下冊內容，本節(jié)內容是四邊形一章中的特殊四邊形，在每年的中考中占有一定的比例，而學生在有關梯形的證明中，往往對于輔助線的作法感到很困難，下面筆者就在教學中碰到的關于梯形輔助線的作法的例題談談自己的見解。

例1.如圖1-1已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AG⊥BC于G，EF是梯形的中位線，對角線AC、BD交于O，且AC⊥BD，求證：EF=AG。

圖1-1 圖1-2 圖1-3

證明：

方法一：如圖1-2所示過D作DH∥AC交BC的延長線于H，則四邊形ACHD為平行四邊形，∴AD=CH，AC=DH（平行四邊形對邊相等）。又∵EF是中位線，∴（梯形的中位線等于上下底之和的一半）。又∵AC⊥BD，DH∥AC，AB=DC，∴∠BDH=90°。∵AG⊥BC于G，∴，∴EF=AG。

方法二：如圖1-3所示過A作AM∥BD交CB的延長線于M，則四邊形AMBD為平行四邊形，∴AD=MB，AM=DB，AB=DC（平行四邊形對邊相等）。又∵EF是中位線，∴（梯形的中位線等于上下底之和的一半）。又∵AC⊥BD，AM∥BD，∴∠MAC=90°。∵AG⊥BC于G，∴，∴EF=AG。

分析：解決梯形相關問題，常用的輔助線有：（1）平移一腰，即從梯形的一個頂點做另一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形，如圖①所示。

圖① 圖② 圖③

圖④ 圖⑤ 圖⑥ 圖⑦

（2）過頂點作高，即從同一底的兩端做另一底所在直線的垂線，把梯形轉化成一個矩形和兩個直角三角形，如圖②所示。（3）平移一條對角線，即從梯形的一個頂點做一條對角線的平行線，把梯形轉化成一個平行四邊形和三角形如圖③所示。（4）延長梯形兩腰使它們相交于一點，把梯形轉化成三角形，如圖④所示。（5）過一腰的中線做輔助線：a.過次中點做另一腰的平行線，梯形轉化成平行四邊形，如圖⑤所示。b.連接一底的端點與一腰的中點，并延長與另一底的延長線相交，把梯形轉化成三角形，如圖⑥所示。（6）有底的中點做兩腰的平行線，把梯形轉化成兩個平行四邊形和一個三角形，如圖⑦所示。

例2.如圖2-1所示在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，點E、F在AB上，連接CE、DF，EC與DF相交于O，且OE=OF求證：CE=DF。

圖2-1 圖2-2

證明：

方法一：如圖2-1，平移EC，使C到D點連接MA，∵AB∥CD，∴四邊形CDME是平行四邊形，∴DM=CE、∠M=∠CEB（兩直線平行同位角相等）。又∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE（等角對等邊），∴∠M=∠DFM，∴DM=DF（等角對等邊），∴CE=DF。

方法二：如圖2-2，平移DF，使D到C點連接BN，∵AB∥CD，∴四邊形CDFN是平行四邊形，∴DF=CN、∠N=∠DFA（兩直線平行同位角相等）。又∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE（等角對等邊），∴∠N=∠CEF， ∴CE=CN（等角對等邊），∴CE=DF。

例3.如圖3所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，點P從點A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度移動，點Q從點C開始沿CB邊向點B已2cm/s的速度移動，如果P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，求移動時間為多少時，梯形ABCD為等腰梯形？

分析：由于AD∥BC，等腰梯形是軸對稱圖形，要說明四邊形PQCD是等腰梯形，則可以從QN=MC中得到解決，特別需要注意的P、Q的運動方向是相反的。

解：設移動時間為ts時，P、Q運動到如圖3的位置，梯形PQCD是等腰梯形，則PQ=DC。過點P做PN⊥BC于N，過點D作DM⊥BC于M，∵AD∥BC，∴PN=DM，∴QN=MC=BC-BM=BC-AD=21-18=3（cm）。

又∵QN=BN-BQ=AP-BQ=t-（21-2t）=3t-21，∴3t-21=3，即t=8。

∴移動時間為8s時，梯形ABCD為等腰梯形。

因此，在有關梯形的證明和計算中，通常都是把梯形通過作輔助線和平移的形式，轉化成三角形、矩形、平行四邊形來解決問題，通過對輔助線作法的總結，學生就能夠很快掌握有關梯形的證明與計算。可見，在學習過程中，學生還需要做大量的練習，才能夠熟練掌握梯形輔助線的作法以及輔助線在梯形幾何證明和計算中的正確應用。

參考文獻：

1.朱海英.中考備戰(zhàn)策略[M].黃河出版社，2011.

2.何雨舟.中考全解全練[M].江語文出版社，2011.

3.劉增利.課時學案[M].開明出版社，2012.