談數學的“開放教學”

　　在教學過程中如果實行開放教學，重視啟發，討論，學生就會感到比較輕松，能夠發散思維和敢于發表自己的看法，有利于培養創造力；同時組織一些數學活動，讓學生感嘆數學無所不在，激發學生學習數學的興趣，開放教學，享受數學，讓學生真正熱愛數學。
　　一
　　目前，開放題已受到了普遍重視，但是開放題的應用事實上只是為我們改進數學教育提供新的更大的可能性，而學習空間的開拓并不等于已經取得好的教學效果，因此，應當提倡“開放式教學”，以下是“開放式教學”的一些特征。
　?。ㄒ唬┰诮虒W中教師不應追求任何一種強制的統一。這就是說每個學生在學習過程中都應有一定的自主性，或者說教師應當允許學生在學習過程中存在一定的“路徑差”。
　?。ǘ┙處煈斀o予持各種不同意見的學生充分表達的機會，給其他學生對其所說的不同看法能有一個理解和評價的時間，顯然相對于“路徑差”而言，教師在教學中應允許學生在學習過程中表現出一定的“時間差”。
　　一般來說，上述兩點也就可以被看成通常所說的“對學生的頭腦開放”，但是，應當明確的是，“對學生的頭腦開放”并不能被理解為教師在此時處于完全被動的地位，只能消極地等待各種不同意見的出現；恰恰相反，正如前面所提及的，教師在此應當積極地拓展學生的“學習空間”。另外，從后一種角度分析，可提出如下關于“開放式教學”的其他一些特征。
　　（三）教師應當積極地拓展學生的學習空間，就教學中問題的提出與表述而言，我們都應注意給學生留有充分的“自由度”。
　?。ㄋ模┰趯W生已經做出多種不同的解答（或多種不同解法）的情況下，教師應積極引導學生對此做進一步的比較和評價。包括通過比較發現各種不同解答之間可能存在的邏輯聯系，對各種解答（與解答方法）的正確性（有效性）做出判斷并給出必要的論證，以及做出必要的修正或推廣等。尤其重要的是，我們應幫助學生對自己在數學上的收獲做自覺的總結。顯然，教師在上述過程中也應發揮重要的引導作用。但是，應當再次強調的是，后者又不應成為一種強制的統一，恰恰相反，教師在這一過程中仍應發揮學生的主動性。
　　二
　　下面以美國密西根大學Ｊ．Ｃhazan教授在某中學實驗班上課的一個關于“平均數”的課例說明“開放式教學”。
　?。ㄒ唬┞撓祵嶒?，引入課題。
　　上課開始，教師提出問題：某公司年終給他的10位雇員發放了獎金，問如何計算雇員的平均獎金數？學生根據經驗回答：只要算出10位雇員獎金總數，再除以10即可，接著教師給班里設計了三組不同的數據，每種情況下分別假定給10位雇員發放不同的獎金，要求學生分別算出平均獎金數，經過計算后學生驚奇地發現：在三種情況下，平均獎金數是一樣的。這其中有什么奧妙？經過熱烈討論，學生終于明確，平均獎金數既可以由10位雇員個人獎金數相加求和再除以10來確定，又可以由獎金總數和分享的人數確定。上述三組不同的數據平均數相同原來是因為獎金總數相同，而且分享人數也一樣，推廣到一般情況就是平均數的定義：
　　■=1/n(x■+x■+…+x■)
　?。ǘ┰O計特例，誘發爭論。
　　教師接著給出第四組數據，10位雇員所分得的獎金數如下表，求雇員的平均獎金數。
　　
　　
　　
　　學生算出兩種不同的結果，多數人取n=10，算出平均獎金數500（美元），少數人取n=9，算出平均獎金數約為555.56（美元），究竟哪個答案對？不同答案的支持者之間展開爭論，支持前一種答案的學生說：
　　學生C：你為什么不考慮第二個人？雖然他沒有得任何獎金，但他也是一個人呀！
　　學生B：當計算學分時，測驗或考試中的零分也是要算上去的。
　　支持后一種答案的學生這樣認為：
　　學生L：你不能真正使用0，因為它表示沒有東西。
　　學生J：0表示一個人沒有分到獎金，獎金實際上分給9個人。
　　雙方見各執一詞，互不相讓，學生等待教師評理。
　?。ㄈ┺D移焦點，深化理解。
　　教師沒有直接評判爭論的是非。為了加深學生對平均數概念的理解，發展他們的推理能力，使之對所作的判斷更有信心，教師決定轉移焦點，提出了如下問題：我們想一想，平均數的意義是什么？學生議論紛紛。
　　學生B：是雇員所得到的，介于最高獎金和最低獎金之間的一個數。
　　學生J：先求得已知數據的和，再用這個和除以數據的個數，其結果就是平均數。
　　上述回答都有正確的成分，學生已經初步認識到平均數所反映的一組數據的整體性質和集中趨勢。經過討論，學生已經具備了解決問題的基礎。
　　（四）把握方向，促進學習。
　　教師認為，爭論應當適時結束，但他沒有直接表態，而提出了如下問題：“能否不通過求和而算出平均數？”學生經過討論后達成共識：如果已經知道了一組數據的總和，又知道數據的個數，則可求出這組數據的平均數。教師因勢利導再問：“上表列出多少數據？”很明顯，上表列出了10個數據，因而所求的應該是10個人的平均獎金數，正確答案便由學生自己得到了。
　　開放式教學能充分發揮教師的主導作用，確立學生的主體地位，通過教師精心設計問題情境，引導學生討論探索和交流，通過問題的不斷轉換，讓學生自己澄清問題，有利于增強學生的自信心。但是要讓學生真正喜愛數學，還必須在教學中讓學生享受數學，激發學生的內在學習動力。
　　因此，我們在刻苦學習、研究數學的同時，也在享受數學。它能滿足我們的好奇心、求知欲（好奇心、求知欲越強烈，滿足的感受越強烈），如破解一道難題，做出小小數學發現后，都會體驗到快樂和喜悅。艱苦的努力使我們入門，能作為內行看出門道，這是對“辛苦”的回報。
　　就改進教學而言，教學思想的轉變更為重要，不具有“開放式頭腦”，在教學中也就很難真正進行“開放式教學”。我們可以通過“開放式教學”將學生真正置于主體地位，利用數學的實際價值，讓學生感受數學，享受數學，培養學生的學習興趣，增強學生自我學習的意識，最終使學生得到生動、主動的發展。