高考數學中“1”的變形計

　　摘要： “1”是人們非常熟悉，但又很奇妙的一個數字.高中數學中“1”的應用廣泛，多類高考題型都涉及了它的變形、代換.“1”是一個多面手，在不同的問題中以不同的形式表現出來.在解題中靈活運用“1”，對攻克高考題，提高解題能力，培養解題思維和方法都有益處.
　　關鍵詞： 高考數學“1”變形
　　
　　高考數學中有關“1”的變形的題型很多，常有不同的解題方法.若能靈活運用“1”的變形，往往就會收到事半功倍的效果，提高解題效率，激發學生的學習興趣，引發學生探索知識的熱情.常見的“1”的變形有①a■=1，log■a=1（a＞0且a≠1）；②lg2+lg5=1；③tan45°=1；④sin■θ+cos■θ=1，等等.
　　一、“1”在指、對數中的應用
　　例1.求函數y=■的定義域.
　　解：由log■x-1≥0得log■x≥1.因為1=log■2，所以log■x≥log■2.
　　而函數y=log■x在（0，+∞）上是增函數，所以x≥2.
　　又x＞0，所以函數的定義域為［2，+∞）.
　　變形計1：本題利用log■a=1（a＞0且a≠1）的變換作用，將對數不等式化成同底的形式，進一步利用函數單調性求解即可.
　　例2.設a=0.2■，b=0.3■，c=log■0.2，試比較a，b，c的大小.
　　解：因為0＜a=0.2■＜0.2■=1，b=0.3■＞0.3■=1，c=log■0.2＜log■1=0，
　　所以c＜a＜b.
　　變形計2：本題充分展現了a■=1的變形功能，即成為比較兩數大小的中間量，好比一座橋梁發揮了其媒介作用.
　　例3.化簡求值：（lg5）■+lg2·lg50.
　　解：原式=（lg5）■+lg2·（lg5+1）=（lg5）■+lg2·lg5+lg2
　　=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1
　　變形計3：利用lg2+lg5=1的特殊性，在化簡中不斷提取公因子，得出最后結果.
　　二、“1”在三角函數中的應用
　　例4.化簡求值：■
　　解：原式=■=tan（45°+15°）=tan60°=■
　　變形計4：本題利用tan45°=1的變換，結合兩角和的正切公式，將復雜問題簡單化，言簡意賅，最終利用特殊角的三角函數值求出結果.
　　三、“1”在不等式中的應用
　　例5.已知x，y為實數，x＞0，y＞0，且x+2y=2，求■+■的最小值.
　　解：因為x+2y=2，所以■（x+2y）=1，所以■+■=■（x+2y）（■+■）=■（3+■+■）≥■（3+2■）（當且僅當■=■即x=■y時等號成立），所以■+■的最小值為■（3+2■）.
　　變形計5：本題表面上看不方便用基本不等式，但仔細觀察就能發現利用“1”的代換化簡后，可以很順利地用基本不等式解決問題.
　　四、“1”在數列中的應用
　　例6.已知?坌x∈R，f（x）+f（1-x）=2，求S=f（0）+f（■）+f（■）+…+f（■）+f（1）.
　　解：因為x+（1-x）=1時，f（x）+f（1-x）=2，且0+1=■+■=■+■=…=1，
　　所以2S=［f（0）+f（1）］+［f（■）+f（■）］+…+［f（1）+f（0）］=2（n+1），故S=n+1..
　　變形計6：本題觀察到函數恒等式f（x）+f（1-x）=2中自變量取值之和為1，得出所求和中首末兩項和為定值2，結合數列的倒序求和法，合并求解.
　　五、“1”在概率中的應用
　　例7.甲乙丙三人參加射擊練習，已知三人命中的概率分別為■，■，■假如在相同情況下每人射擊一次，并且互不影響，求甲乙丙至少有一人命中的概率.
　　解：記甲乙丙命中的事件分別為A，B，C，甲乙丙至少有一人命中為事件D，則P（D）=1-P（■ ■ ■）=1-（1-■）（1-■）（1-■）=■.
　　變形計7：本題充分利用了對立事件概率之和為“1”的性質，當直接考慮情況較多時，正難則反，考慮其對立事件的概率，再代入公式解之.
　　六、“1”在解析幾何中的應用
　　例8.已知P為橢圓■+■=1上的一點，求P到直線l:x+y-6=0的最短距離.
　　解：因為P為橢圓■+■=1上的一點，所以可設P點坐標為（4cosα，3sinα）.
　　所以P到直線l的距離d=■=■（其中tanφ=■）.
　　當sin（α+φ）=1時，|5sin（α+φ）-6|■=1，所以距離d的最小值為■.
　　變形計8：本題方法不唯一，但是利用sin■α+cos■α=1中“1”的三角變換作用，將解析幾何中的距離問題轉化為三角函數的最值問題進行求解，避免了復雜的圓錐曲線中的坐標運算.
　　“1”是一個多面手，在不同的高考知識點中有不同的表現形式.只要認真觀察、體會，充分挖掘和靈活運用“1”的變形，就可以巧妙、快速地得出結論.通過上述例題的分析，我們對“1”的應用有了一定的體會，但是高考數學中涉及“1”的題目類型并不止這些，值得我們不斷探索、鉆研和歸納.
　　
　　參考文獻：
　　［1］朱凱，李虹．數學中“1”的妙用［J］．內江科技，2011.06.
　　［2］李毅.淺談高中數學中“1”的妙用［J］.中學生數理化:學研版，2012.10:44-44.
　　［3］張學憲主編.優化方案（數學）［M］.現代教育出版社，2012.