求變量取值范圍的基本思路

求一個變量的取值范圍或最大（?。┲?，是中學數學學習中一類常見的問題.該類問題在各省市的高考試題中出現的頻率較高，許多省市的高考試卷中涉及該類問題的題目所占的分值，幾乎接近卷面總分的30%。因此，解答好該類題目對高考數學取得好成績顯得尤為重要。

這里所說的變量往往是一個變化的實數。它還可以用其他方式體現出來，如代數式、距離、斜率、面積、體積、角，等等。

求一個變量的取值范圍和求它的最大（小）值的思路基本上是相同的。如果能求出一個變量的取值范圍，則很容易得到它的最大（小）值。

求一個變量的取值范圍或最大（小）值的問題往往可以從以下三個角度分析和解決。

一、幾何法

幾何法即把所求問題中的條件和結論都理解成幾何圖形或直角坐標平面中的某些量，然后利用圖形中的所求變量的變化規律，得到所求變量的取值范圍。例如現行中學教材中的線性規劃問題本質上就是把二元一次不等式組表示為直角坐標系中相應的平面區域，把線性目標函數理解為其相應的直線在坐標軸上的截距加以解決。

例1：在（0，2π）內，求使sinx>cosx成立x的取值范圍。

分析：解決該問題只需要把函數y=sinx和y=cosx在（0，2π）內的圖像畫出來，通過觀察圖像即可得到x的取值范圍。

例2：求拋物線y=-x上的點到直線：4x+3y-8=0距離的最小值。

分析：在直角坐標系中分別畫出拋物線y=-x和直線4x+3y-8=0，通過圖形容易得到和拋物線y=-x相切且與直線4x+3y-8=0平行的切線的切點到該直線的距離最小。利用導數求出切點坐標，然后利用點到直線的距離公式即可求得。

二、不等式法

不等式法就是如果能利用題目的條件得到所求變量的不等式或不等式組，那么該不等式或不等式組的解集即為所求變量的取值范圍。

例3：函數f（x）=ax+3x-x-1在（-∞，+∞）上是減函數，求a的取值范圍。

分析：函數f（x）在（-∞，+∞）上是減函數，即f（x）的導數f′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立。而f′（x）≤0是關于x的二次不等式，要使它對于任意的x都成立，就容易得到一個關于a的不等式組，那么該不等式組的解集即為a的取值范圍。

例4：已知直線l：y=kx+1與雙曲線：2x-y=1右支交于不同的兩點，求k的取值范圍。

分析：聯立y=kx+1與2x-y=1消去y得到一個x的二次方程，這個方程的根就是兩個交點的橫坐標，而且它們都大于零，根據二次方程的判別式和根與系數的關系，就容易得到一個k的不等式組，它的解集即為所求k的取值范圍。

三、函數法

所謂函數法就是首先建立一個函數模型，即根據題目條件把所求的變量表示為另一個變量的函數，那么這個函數的值域就是所求變量的取值范圍，函數的最大（?。┲稻褪撬笞兞康淖畲螅ㄐ。┲?。

例5：已知直線l過點P（2，1），且交x正半軸于點A，交y正半軸于點B，△AOB的面積為S，試求S的最小值，并求出此時直線l的方程。

分析：因為直線l過定點P（2，1），l是隨著它的斜率的變化而變化的，所以△AOB的面積就是隨著直線l的斜率變化而變化的。通過設l的斜率，把l的方程表示出來，從而分別得到點A的橫坐標與點B的縱坐標與l的斜率的關系，然后把直角△AOB的面積表示為直線l斜率的函數。最后利用基本不等式或者導數的方法求該函數的最小值即可。

例6：用邊長為48 cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成一個長方體型鐵盒，求所做的鐵盒容積最大值。

分析：因為所求長方體型鐵盒的容積是隨著被截去的小正方形的邊長的變化而變化的，所以可設小正方形的邊長，利用長方形的體積公式，把鐵盒的容積表示成小正方形邊長的函數，然后利用導數的方法求該函數的最大值即可。

當然，以上僅僅給出了求一個變量的取值范圍或最大（?。┲档幕舅悸?，要具體解決該類問題還需要具備一定的數學知識和方法才能完成。

或許，求一個變量的取值范圍還有其他方法，但是現行高中數學中該類問題大都可以從以上三個角度之一分析解決。