一道課本例題的聯想

摘 要： 許多學生害怕學數學，且答題不規范、思維不嚴密等，并形成惡性循環.究其根本原因，在于沒有很好地掌握概念，把原有的知識結構體系與數學概念背景材料有力地結合起來.在解定值問題時，應立足概念本質.

關鍵詞： 數學概念 概念本質 概念內涵 概念外延 數學思想與方法

在必修4§2.5.1中有這樣一道題：在平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能確定AR、RT、TC之間的關系嗎？

利用信息技術工具（數形結合法）作圖可以發現，實質上問題即為證明R、T為AC上的定點——三等分點，就是定值問題.教師在教學過程中應該強調平面幾何與向量的聯系，將平面幾何問題轉化為向量問題，而向量問題最終立足于本質概念的考查——平面向量基本定理.

問題1：在△ABC中，D為BC邊上的中點，過D點作一直線，交AB、AC與點M、N，若求證：m+n是定值.

問題2：PQ過△ABC的重心G這兩題與課本的例題類似，都是考查平面向量基本定理.在概念教學中，問題的設計應具有層次感，便于引導學生認識概念的本質，打好知識基礎，形成基本技能，掌握好基本概念及學習方法.

高中數學的知識點不是一個個獨立的個體，定值問題也不僅僅局限在向量，知識之間是相互關聯且相互滲透的.向量在其他知識點中的滲透是較為常見的，如直線與圓錐曲線中結合向量，主要是利用向量概念的內涵，考查直線與圓錐曲線本質概念.

問題3：已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1，過橢圓右焦點的直線F的直線交橢圓于A、B兩點共線，

（1）求以M、N為焦點且過點P的橢圓方程；

（2）過點B（-1，0）的直線l交橢圓于C、D兩點，交直線x=-4于點E，點B、E分的比分別為，求證.

問題3考查平面向量共線的概念本質，利用點斜式寫出直線方程y=x-c，設，利用只設不求的數學思想方法，把直線方程代入曲線方程中，得到關于x的一元二次方程，從而得x，由向量共線可以得到a，b，c之間的關系，結合離心率的概念可求之.設M（x，y），利用M點在橢圓上，則滿足橢圓的方程，以及條件，整體代換，通過化簡可得的定值為1.

問題4考查了平面向量定比分點的概念本質，回歸概念本質教學，返璞歸真，在概念的應用中進一步體會其本質，達到深刻認識本質概念的目的，感受本質概念的內涵和外延.由M、N的對稱性，，結合向量的條件，可求得橢圓方程為，直線方程可用點斜式表示，故要討論斜率的存在性，下面解法同問題3.

在問題3和問題4的教學過程中，要時刻圍繞著本原性問題，讓學生了解問題背后的知識概念，以概念為突破口，進一步實踐與探究，使學生的思維由單一思維向多向思維轉變，從而達到解題目的.

數學概念凝結著數學家的思維，是認識事物的數學思想的概括，是數學思想的精華，是人類智慧的結晶.

圓錐曲線中的定值問題是數學學習的難點，而定值問題在數學知識結構體系中遠不止這些，如不等式中出現的定值問題，解法較為靈活多變。學生對知識概念本質的認識和掌握，理解概念本質的程度因人而異，要求教師在教學時，驅動問題教學，如提出好的數學問題，提出本原性及觸及數學概念本質的問題驅動教學.

問題5：在正方體AC中，在棱AB、AD、AA1上，各任取三點E、F、G，問△EFG的形狀如何？

表面看起來是立體幾何的問題，實際上在求解時結合向量垂直的概念本質，問題將變得簡單化.數學的本質是概念，在概念的學習中，學生能形成正確的思維方式、方法，以及思維的遷移能力.問題五把立體幾何中角的問題遷移到向量中角的問題，，由立體幾何的概念本質可推理得，故可得到△EFG中∠E為銳角，同理可得另外兩個角也是銳角，從而判定該三角形為銳角三角形.

教師通過對教材的“再創造”激發學生的學習動力，調動學生學習的積極性，使學生主動地參與到學習概念本質中，通過對數學知識的發現和探索，認識到數學概念本身的魅力，從而促進學生對概念本質的理解，提高數學素養，增強數學解題能力.

參考文獻：

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