中學數學教學中的反證法

摘 要： 反證法是在中學數學中常用到的一種非常重要的證明方法.文章介紹了反證法的基本概念、步驟、典型例題和使用條件.

關鍵詞： 中學數學教學 反證法 使用條件

在生活中，我們都有這樣的常識，去掉大米中的砂粒，有兩種方法.一種是直接從大米中把砂粒一粒一粒地揀出來；一種是用間接的方法——淘洗法，把砂粒殘留下來.這兩種方法雖然形式不同，但結果卻是一樣的，都能達到去掉砂粒的目的.有時用直接方法很困難，而用間接方法卻容易得多.牛頓曾說：“反證法是數學家最精當的武器之一.”當一些命題不易從正面直接證明時，就可考慮用反證法.

一、反證法的基本概念

1.反證法的定義

法國數學家阿達瑪對反證法的實質做了如下概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾.”這是對反證法的極好概括.其實反證法也稱作歸謬法。反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較簡單的題目，在高中數學中的應用較為廣泛，在解決一些較難問題的時候，反證法能體現其優越性.

2.反證法的基本思想

反證法的基本思想就是否定之否定，這種基本思想可以用下面的公式表示：

“否定→推理→矛盾→肯定”，即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定.

3.反證法的邏輯依據

通過以上三個步驟，為什么能肯定原命題正確呢？其邏輯根據就在于形成邏輯的兩個基本規律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假.再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規律和理論為依據的，反證法是可信的.

二、反證法的步驟

用反證法證題一般分為三個步驟：

1.反設.假設原命題的結論不成立；

2.歸謬.從這個結論出發，經過推理論證，得出矛盾；

3.結論.由矛盾判定假設不成立，從而肯定原命題的結論正確.

即：否定結論→推導出矛盾→結論成立.

三、反證法的種類

1.歸謬反證.結論的反面只有一種情形，只要把它駁倒，就能達到證題目的.

2.窮舉反證.結論的反面不止一種情形，必須將它們逐一駁倒，才能達到證題目的.

四、反證法的典型例題

例1：已知：AB，CD是圓內非直徑的倆弦（如圖），求證：AB與CD不能互相平分.

證明：假設AB與CD互相平分與點M，則由已知條件AB，CD均非圓O直徑，可以判定M不是圓心O，聯結OA，OB，OM.

因為OA=OB，M是AB中點，所以OM⊥AB（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）.同理可得：OM⊥CD，從而過點M有兩條直線AB，CD都垂直于OM.這與已知的定理相矛盾.故AB與CD不能互相平分.

五、反證法的使用條件

任何方法都有它成立的條件，也都有它適用的范圍.離開了條件超越了范圍就會犯錯誤，同樣，問題解決也就沒有那么容易.因此，我們應該學會正確使用反證法解題.

雖然用反證法證明，邏輯推理嚴謹而清晰，論證自然流暢，可謂是干凈利落，快速而可行，是一種很積極的證明方法，而且用反證法證題還有很多優點：如思想選擇的余地大、推理方便等.但是并不是什么題目都適合用反證法解決.

例2：如果對任何正數p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實數，則系數a=0，試證之.

分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實第三步，即肯定原結論成立的論證錯了.因為，本題的題設條件為對任意正數p，y=0有兩個正實數根，結論是a=0，但本題的題設條件與結論是矛盾的；當a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數p，它只有一個根；在b=0時，僅當p=-c>0的條件下，它有無數個根，否則無根，但總之不會有兩個根.題設條件和結論矛盾.因此，本題不能反證法來處理.若原題改為“如果對于任何正數p，只存在正實根，則系數a=0”，就能用反證法證明.

因此，對于下列命題，較適用反證法解決.

（1）至多至少型命題；（2）唯一性命題；（3）否定型命題；（4）明顯型命題；（5）此前無定理可以引用的命題.

例3：設a，b都是正數，求證：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

證明：反設ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由對稱性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

即：0>（a-b）/a≥0這一矛盾說明ln（a/b）≤（a-b）/b

即：ln（b/a）≥（a-b）/b

交換位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

反證法是數學中的一種重要的證明方法.牛頓曾說：“反證法是數學家最精當的武器之一.”它是從命題的否定結論出發，通過正確的邏輯定理推理導出矛盾，從而證明原命題的正確性的一種重要方法.反證法之所以有效是因為它對結論的否定實際上增加了論證的條件，多一個條件，這對發現正確的解題思路是有幫助的.對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，通過逆向思維，從結論入手進行反面思考，問題就能迎刃而解.在現代數學中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一.

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