兩總體方差差異的U統計量檢驗法

王 敏

(魯東大學數學與信息學院,山東 煙臺 264025)

0 引 言

對兩總體方差差異的檢驗在實際應用中是較常見的,但目前常用的F檢驗法是在假定總體為正態分布的情況下進行的,在非正態場合對該問題的研究很少.

本文在任意總體情形下,給出了兩總體方差差異的U統計量檢驗法,并討論了檢驗統計量的相合性,漸近正態性及檢驗的功效.

設X1,X2…Xm為來自總體X的簡單隨機樣本,樣本均值為,樣本方差SX2,X的分布函數為為來自總體Y的簡單隨機樣本,樣本均值為,樣本方差SY2,Y的分布函數為F(2y),EY=μ2,VarY=σ22<∞,假設兩樣本相互獨立,欲檢驗H0:σ21=σ22,H1:σ21>σ22.

1 U統計量的建立

對于樣本X1,X2…Xm及任意的1≤α1,α2≤m,令h(1α1,α2)=(Xα1-Xα2)2,對

于樣本Y1,Y2,…Yn及任意的1≤β1,β2≤n,令h(2β1,β2)=(Yβ1-Yβ2)2,同時令

又令

顯然,將Umn化簡后有

將h1(α1,α2),h2(β1,β2)的表達式代入推導可得:

2 Umn的期望和方差

首先,由Umn化簡后的表達式有EUmn=ESX2-ESY2=σ21-σ22,下面著重計算Umn的方差.

由于兩樣本是相互獨立的,所以有

由文獻[2]中的推導,可以得到如下兩個結論:

3 Umn的大樣本性質

定理1[1]令m+n=N,若→λ,則當N→+∞時有

定理2[1]若Eh(α1,α2,β1,β2)2<∞,當時,有

在進行假設檢驗時,因為τ12,γ12的取值與總體分布有關,因此在大多數情況下,是未知的,因此需要找到它的估計量.

根據文獻[2]的推論有如下兩個結論:

由大數定律得到

5 假設檢驗

假設問題H0:σ21=σ22,H1:σ21>σ22可等價變形為

6 兩種檢驗的功效

檢驗的功效指的是在備擇假設成立時拒絕原假設的概率.比較兩種檢驗方法的功效,可以比較給定顯著性水平下,使兩種檢驗方法達到相同的功效時所需的樣本容量,所需樣本容量越多,功效越低.

6.1 U統計量檢驗的功效

若假設θ=σ12-σ22,則原假設和備擇假設可變為H0:θ=0,H1:θ>0

計算功效的參數θ與樣本容量有關,且樣本容量越大,計算功效的參數與原假設越接近,因此,取一個參數序列θ1≥θ2≥…≥θN≥…>0,假設m+n=N,m=λN,n=(1-λ)N.

下面計算檢驗在參數θN處達到功效β時所需的樣本容量NU.

先計算備擇假設成立時的概率值

可得

所以,由Slutsky[5]定理,備擇假設成立時,有

當總體為正態分布時,

6.2 F檢驗的功效

下面計算在參數α處達到功效β時所需的樣本容量.

由Slutsky[5]定理有

7 結論

由計算結果可以看出,當σ2=1,檢驗的相對效率為1,即兩種檢驗的功效相當.當兩總體方差均小于1且總體4階矩存在時,U統計量檢驗優于F統計量的檢驗,且適合于更加寬泛的場合,因此它是一種檢驗兩個總體方差差異的實用方法.

綜合6.1和6.2的結果,可以得到U統計量與F統計量檢驗的功效比率為

[1]孫山澤.非參數統計講義[M].北京:北京大學出版社,2007:34-40.

[2]陸媛媛.單個總體方差差異的U統計量檢驗法[J].吉林大學學報:理學版,2011,49(6):1064-1067.

[3]宋立新.兩總體分布均值相等的U統計量檢驗法[J].吉林大學學報:理學版,2011,48(6):957-960.

[4]李開燦.x2分布,t分布和F分布的一致漸近正態性[J].北京印刷學院學報,2004,12(3):30-33.

[5]陳希孺.數理統計引論[M].北京:科學出版社,2007:569-571.

[6]王靜龍,梁小筠.非參數統計分析[M].北京:高等教育出版社,2006:154-155.