基于局部彼得羅夫-伽遼金法的超長樁受力分析

吳 鳴,鐘永國

(汕頭大學土木工程系,廣東 汕頭 515063)

0 引言

我國沿海地區(qū)地質(zhì)條件極其復雜,如廣東、上海等沿海深厚軟土達150~400 m,80 m以上超長樁已成為軟土地區(qū)超高層建筑和某些安全等級要求較高的建筑物樁基常用的一種樁型.橋梁工程50~100 m長樁已十分常見,如我國杭州錢塘江六橋(在建)采用的鉆孔灌注樁樁長達130余米,而國際上最深已達150 m.

隨著樁長與樁徑的增加,其承載性能及其影響因素更加復雜,現(xiàn)行規(guī)范中仍沿用普通樁的設計理論,即通過預估樁側(cè)摩阻力和樁端阻力后相加并除以某一安全系數(shù)的方法得到,這一設計方法顯示其局限性.大量的試驗分析表明,基樁的側(cè)阻和端阻發(fā)揮不同步,如果按照統(tǒng)一參數(shù)計算缺乏確切的安全度概念,這一問題在超長樁的設計中尤為突出;而超長樁樁側(cè)阻在樁身中部常存在強化效應,又使其設計存在一定的承載潛力,這種一方面基樁已具有一定承載潛力,另一方面設計人員仍試圖以增大樁長提高基樁豎向承載力的矛盾,均源自于工程設計人員缺乏對超長樁承載性狀的深入了解,因而根據(jù)現(xiàn)行規(guī)范對超長樁的設計是不完善的,也是不合理的.實際工程中經(jīng)常出現(xiàn)因樁基沉降過大等引起的工程事故,或樁基設計中越來越保守的趨勢和嚴重浪費的現(xiàn)象,因而開展超長樁的承載性能與設計理論研究具有重要的工程意義和較大的經(jīng)濟價值,也是工程界的迫切要求.

在豎向荷載下,超長樁樁土之間往往出現(xiàn)滑移,甚至脫開,樁周土往往處于塑性變形狀態(tài),傳統(tǒng)的數(shù)值計算難以滿足如此要求,有限元-有限層法雖然能近似考慮土的非線性,計算簡單,但是對于土的開裂,滑移等也顯得力不從心,在眾多數(shù)值方法中,有限單元法發(fā)展得較為成熟,其可同時考慮眾多影響因素,如土的非線性、固結時間效應以及動力效應等,但在用軸對稱有限元法對軸、橫向荷載下超長樁進行承載性能分析時,仍存在以下問題:①大變形及開裂問題處理;②樁土接觸面處理.至于其它數(shù)值方法,如流形元法、界面元法也難以很好地克服樁土接觸面問題.可見,超長樁承載性能研究的突破很大程度上依賴于深入掌握樁土體系的相互作用機理,并引入合適的數(shù)值計算方法進行分析.本文引入最近發(fā)展的全新的數(shù)值計算方法-無網(wǎng)格法,用來分析大變形條件下層狀地基中豎向荷載下超長樁的承載性能及其影響因素,以此修正和完善超長樁的承載機理.既可克服有限元方法的局限性和主要缺點,為無網(wǎng)格法在樁基工程領域的應用做一個有益的嘗試,也為樁基的荷載傳遞機理及樁土共同作用分析提供了一條新的思路和方法.

1 無網(wǎng)格局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)基本原理

無網(wǎng)格法與有限元法利用插值建立近似函數(shù)不同,它是在計算點鄰域內(nèi)通過逼近得到局部最優(yōu)近似,然后由這些局部最優(yōu)近似再獲得求解域內(nèi)的全局近似函數(shù).在采用無網(wǎng)格法對承受豎向荷載作用的基樁進行分析時,考慮樁土共同作用情況的位移協(xié)調(diào),基于計算點在樁土計算域內(nèi)進行近似.

1.1 移動最小二乘近似(MLS)[1-4]

以二維問題為例來說明移動最小二乘函數(shù)的構造.考慮位于全域Ω內(nèi)一點x的鄰域(子域)Ω,為了得到近似函數(shù)u在子域Ωx內(nèi)的分布,則在有限個隨機分布的節(jié)點xi(i=1,2,…,n)上,函數(shù)u的近似值uh(x)(?x∈Ωx)可定義為

式中a(x)為一系數(shù)向量,可表示為

注意,式(2)中的系數(shù)向量a(x)是x的函數(shù).該系數(shù)a可以通過對下列加權離散L2范數(shù)取極少而得到

式中n為包含在權函數(shù)w(x-xi)≠0的x支持域中的節(jié)點數(shù),ui為u在x=xi處的節(jié)點參數(shù),式(3)為一加權殘量的泛函,它利用未知場變量節(jié)點參數(shù)值和其近似而構成.由于MLS近似式中的節(jié)點數(shù)n通常大于未知系數(shù)m,故近似函數(shù)uh將不通過節(jié)點值.

J關于a(x)求駐點值可得到:

上式運算后可得:

式中Us為支持域中所有節(jié)點的節(jié)點場函數(shù)參數(shù)所形成的向量.

由式(5)求解a(x)可得到

代入式(1)可得到

其中

1.2 無網(wǎng)格局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)

彈性力學中MLPG的局部弱式可通過以下加權殘量法得到:

式中w為權函數(shù),第二項積分用于施加位移邊界條件.這是因為MLPG中的MLS形函數(shù)不具備Kroneker δ函數(shù)性質(zhì),從而采用罰函數(shù)法施加位移邊界條件.Ωq是結點i的局部積分域,Γqu是與積分域Ωq相交的那部分位移邊界,α是懲罰因子.本文中統(tǒng)一采用相同的懲罰因子.

采樣點X處的位移可采用MLS形函數(shù)近似表示為:

式中Фi為MLS形函數(shù),Ф為有MLS形函數(shù)所組成的矩陣.

對(1)式左邊第一項第一部分進行分部積分

式中nj為邊界上單位外法線向量的第j個分量.把(2)、(3)式代入(1)式進行離散、合并整理后可以得到

然后對問題域內(nèi)所有N個場節(jié)點應用(15)式,組裝即可得到總體系統(tǒng)方程.MLPG的系統(tǒng)方程為離散線性代數(shù)方程形式,即

解此方程可得到結點位移參數(shù),進而利用(2)式可求得問題域內(nèi)任意點的真實位移,從而可求得應力和應變.

對于位移邊界條件,采用罰函數(shù)法進行處理.對于樁、土這兩種不同的材料界面,采用Cordes等[6]給出的處理材料不連續(xù)問題的方法.

2 豎向荷載作用下基樁大變形處理方法

采用完全的拉格朗日法迭代計算.每級荷載增量為△Pi,在第i個增量步迭代收斂后,可由第i個增量步開始時的切向剛度矩陣[K]i-1(其中包含了第i個增量步以前所有加載過程中各種非線性因素對樁土系統(tǒng)剛度矩陣的貢獻)提取線性荷載值,相應的提取非線性荷載值的方程可表示為

式中 [K]i-1為第i個增量步開始時系統(tǒng)的切向剛度矩陣;[△K]σ為系統(tǒng)幾何剛度矩陣,它表示大變形情況下初應力對結構剛度的影響,即從第i個增量步開始算起的與系統(tǒng)荷載增量△Pi有關的函數(shù);{Δd}為增量位移;{Δf}為增量外荷載、體力和面力矩陣.針對MLPG法(18)式最終簡化為

式中,[K]為對樁土分析域各節(jié)點按權重和形函數(shù)在其定義域積分得到的剛度矩陣.

3 算例分析

本文以Microsoft Fortran Powerstation語言編制了基于局部彼得羅夫-伽遼金法的超長樁受力分析程序.程序編制以層狀橫向各向同性彈性半空間地基模型為基礎.以文獻[7]錫宜高速公路錫澄大橋試樁為分析對象:樁徑d=100 cm,樁長l=43.0 m,長徑比l/d=43,樁側(cè)土層以亞粘土為主,樁端土層為粘土層;以及文獻[7]鄭州試樁為分析對象:樁徑d=100 cm,樁長l=60 m,長徑比l/d=60,樁側(cè)土層以亞粘土、亞砂土為主,樁端土層為亞砂土層.計算參數(shù)如下表:

表1 試樁場址參數(shù)

使用本文方法進行沉降、承載力分析的結果與試樁結果對比如表2,表3所示.

表2 樁頂沉降計算對比

由表2可得知:錫宜試樁沉降計算值與實測值誤差最大為11.35%,最小為2.33%;鄭州試樁沉降計算值與實測值誤差最大為11.86%,最小為5.4%,吻合較好.

表3 豎向承載力計算對比(kN)

摩阻力的變化情況:

圖1 錫澄試樁摩阻力分布圖

圖2 鄭州試樁摩阻力分布圖

計算結果表明,按規(guī)范方法計算得到的單樁極限承載力小于實測值.而按本文方法計算的單樁極限承載力和實測的結果較吻合.計算過程中還發(fā)現(xiàn),在距離樁頂約0.4-0.6 L處,側(cè)摩阻力均具有明顯的硬化效應,與試樁情況符合.

4 結 論

(1)按規(guī)范方法計算得到的單樁極限承載力一般都小于實測值,而按本文基于局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)、考慮超長樁大變形運算程序的計算結果,與試樁結果更為接近.

(2)隨著荷載的增加,超長樁的有效樁長逐漸增大;在距離樁頂約0.4-0.6 L處,側(cè)摩阻力具有明顯的硬化效應.

(3)有待進行更深入的理論研究以及更多的案例比對,以完善新方法.

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