讓問(wèn)題真正成為數(shù)學(xué)教學(xué)的“心臟”

新課程提倡問(wèn)題探究.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要想有效地進(jìn)行問(wèn)題探究，挖掘與提升數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究?jī)r(jià)值是一個(gè)重要的方面，下面筆者談?wù)勼w會(huì).

1.大膽設(shè)問(wèn)，在知識(shí)形成時(shí)留下探究空間

在運(yùn)用這些情境時(shí)，我們可以大膽設(shè)問(wèn)，為知識(shí)的形成留下懸念，以提升問(wèn)題情境的探究?jī)r(jià)值.

案例1：平均變化率（蘇教版課標(biāo)教材選修2-2第1.1.1節(jié)）

教材中提供了如下“氣溫陡增”的情境：

世界充滿著變化，有些變化幾乎不被人們所察覺(jué)，而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼，請(qǐng)看下表.

某市今年4月20日最高氣溫為33.4℃，而4月19日和4月18日最高氣溫分別為22.4℃和18.6℃，短短兩天時(shí)間，氣溫陡增了14.8℃，悶熱中的人們無(wú)不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市今年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩者溫差為15.1℃，甚至超過(guò)了14.8℃，而人們卻沒(méi)有發(fā)出上述感嘆，這是什么原因呢？

我校一位公開(kāi)課老師是這樣運(yùn)用這個(gè)問(wèn)題情境的.

師：除了用表格外，還有什么數(shù)學(xué)工具能直觀地反映上述氣溫的變化情況呢？

眾生：圖像.

師：很好！下面我們?cè)囍堰@個(gè)圖像作出來(lái).引導(dǎo)學(xué)生作圖（如圖1所示），過(guò)程略.

從圖像中我們的確可以直觀地看出，曲線段AB相對(duì)平緩，而曲線段BC比較陡峭.下面我們需要研究的問(wèn)題是：能否從數(shù)量關(guān)系上刻畫(huà)曲線的“陡峭”程度呢？請(qǐng)大家先自己思考，然后小組討論后再發(fā)表意見(jiàn).

（約2～3分鐘后，學(xué)生發(fā)言.）

生1：看AB、BC這兩段上的“天平均變化溫度”.

生2：連接AB與BC，比較這兩條線段的斜率.

（以下略）

該片段中，學(xué)生能從數(shù)和形兩個(gè)不同的角度提出2FsM692Bt34pklfoHxAFftzBRkUBoUUi60kKDfgAaJ0=解決問(wèn)題的方案，通過(guò)運(yùn)算學(xué)生就不難發(fā)現(xiàn)這兩者的本質(zhì)是一致的，在此基礎(chǔ)上再來(lái)建構(gòu)平均變化率的概念顯得自然而合理.該教學(xué)片段的成功之處就在于教師大膽地拋出了問(wèn)題，并放手讓學(xué)生來(lái)探究.

2.子題導(dǎo)引，在解題教學(xué)中鋪下探究之路

有針對(duì)性地設(shè)計(jì)幾個(gè)子問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目的隱含條件、溝通條件與結(jié)論的聯(lián)系、揭示問(wèn)題的本質(zhì)或者進(jìn)行必要的拓展與引申等.

案例2：不等關(guān)系（蘇教版課標(biāo)教材必修5第1.1.1節(jié)）

教材對(duì)這節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是通過(guò)具體情境中的三個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題中包含的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，找出其中的不等關(guān)系，并由此建立不等式，本節(jié)課的難點(diǎn)就是建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.請(qǐng)看教材中的例3：

下表給出了X、Y、Z三種食物的維生素的含量及成本：

某人欲將這三種食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000單位的維生素A及40000單位的維生素B，設(shè)X，Y這兩種食物各取xkg、ykg，那么x、y應(yīng)滿足什么關(guān)系？

在我校青年教師評(píng)優(yōu)課上，一位老師在分析這道例題時(shí)設(shè)計(jì)了以下子問(wèn)題讓學(xué)生來(lái)思考與探究：

問(wèn)題1：食物Z取多少kg？此時(shí)食物X、Y、Z分別含維生素A、維生素B各多少單位？

問(wèn)題2：如何將混合食品中有關(guān)維生素含量的要求用數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)？

問(wèn)題3：你能將相應(yīng)的成本表示出來(lái)嗎？

問(wèn)題4：如果你是該食品廠的經(jīng)理，你準(zhǔn)備如何來(lái)配制這種食品？（留給大家課后探究.）

只要回答出這四個(gè)子問(wèn)題，不僅原問(wèn)題自然地得到了解決，而且能有所拓展.這節(jié)課之所以能獲得一致好評(píng)，應(yīng)該歸功于他對(duì)每一道例題所設(shè)計(jì)的子問(wèn)題.

3.類題剖析，在“錯(cuò)題”講評(píng)中踩下探究的腳印

在錯(cuò)題講評(píng)課上，設(shè)置容易混淆的類題讓學(xué)生來(lái)探究是剖析錯(cuò)因的一個(gè)有力手段.

案例3：（蘇教版課標(biāo)教材必修3第3.4節(jié)例3）

黃種人群中各種血型的人所占的比例如上表所示：

已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型的人，其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血，若小明因病需要輸血，問(wèn)：

（1）任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？

（2）任找兩個(gè)人，當(dāng)中至少有一個(gè)人的血可以輸給小明的概率是多少？

筆者在講評(píng)這道試題時(shí)，首先給出了下面兩道形似質(zhì)異的題目：

題1：小明因病需要輸血，已知小明是B型血，現(xiàn)有100人可供輸血，其中A、B、AB、O血型的人分別有28、29、8、35人，從中任選2人，求至少有一個(gè)人的血可以輸給小明的概率是多少？

題2：小明因病需要輸血，小明是B型血，已知在黃種人群中任選一人，其血型為A、B、AB、O型的概率分別為0.28、0.29、0.8、0.35，現(xiàn)從中任選2人，求至少有一個(gè)人的血可以輸給小明的概率是多少？

課上，通過(guò)對(duì)這兩道類題的比較與剖析，讓學(xué)生自己探究出了答錯(cuò)試題的原因；接著我們大膽地提出一個(gè)猜想：題2的條件提供的是概率，就相當(dāng)于提供了無(wú)窮多人可供輸血；最后我們又從函數(shù)的單調(diào)性及極限這兩個(gè)角度驗(yàn)證了該猜想，進(jìn)而找到了這兩道題之間的聯(lián)系.如此講評(píng)錯(cuò)題，學(xué)生不僅知道該怎么做，而且知道為什么要這樣做.