探索最值誤區(qū)，促進(jìn)知識整合

摘 要： 最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)生解題時(shí)由于思維不夠嚴(yán)密，常出現(xiàn)諸多誤區(qū).本文列舉了一些常出現(xiàn)錯(cuò)誤的例子，并提出了解決的方法.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 最值問題 思維誤區(qū) 知識整合

一

“最值”指變量在某一變化過程中取得的最大值或最小值.在新課標(biāo)中，最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，如最大利潤問題、最大面積問題、最低運(yùn)費(fèi)問題等.最值問題包括函數(shù)最值問題、不等式最值問題和幾何最值問題等；在函數(shù)最值問題中，有二次函數(shù)最值、一次函數(shù)最值和反比例函數(shù)最值問題.

對于二次函數(shù)y=ax+bx+c，當(dāng)a>0時(shí)，它的圖像開口向上，圖像存在最低點(diǎn)，二次函數(shù)有最小值，最小值是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值；當(dāng)a<0時(shí)，它的圖像開口向下，圖像存在最高點(diǎn)，最大值是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值.因而求二次函數(shù)的最值，即求二次函數(shù)的頂點(diǎn)的坐標(biāo).這樣一來，學(xué)生在接觸大量的二次函數(shù)最值問題后，就會形成一種思維定勢：解決最值問題，只需建立一個(gè)二次函數(shù)，求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，其中頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是所求的最值。于是，出現(xiàn)了最值問題的諸多思維誤區(qū).

（一）忽略了自變量取值范圍的限制.

在一個(gè)二次函數(shù)中，當(dāng)自變量是全體實(shí)數(shù)時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是這個(gè)函數(shù)的最大值或最小值.但當(dāng)自變量的取值范圍不是全體實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖像是拋物線的一部分，頂點(diǎn)不一定落在部分的拋物線上.這時(shí)，以頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)作為所求的最值就不一定正確了.因此，求二次函數(shù)的最值，必須考慮頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否落在自變量的取值范圍內(nèi)，否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)論.

例1：已知二次函數(shù)y=x2-2x-3，在2≤x≤3的范圍內(nèi)求這個(gè)二次函數(shù)的最大值或最小值.學(xué)生往往會盲目地求出二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-4），然后得出結(jié)論：因?yàn)閍>0，所以二次函數(shù)有最小值，最小值是-4.這個(gè)的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的.其實(shí)在2≤x≤3范圍內(nèi)函數(shù)的圖像在對稱軸x=1的右側(cè)，且y隨x的增大而增大，故當(dāng)x取最小數(shù)值2時(shí)，y的值最小為-3；當(dāng)x取最大數(shù)值3時(shí)，y的值最大為0.事實(shí)上，在很多實(shí)際問題中，自變量往往受實(shí)際意義的限制，只能在某一范圍內(nèi)取值.因此，求二次函數(shù)的最值必須關(guān)注自變量取值范圍對最值的影響，當(dāng)頂點(diǎn)不在自變量取值范圍內(nèi)時(shí)，必須利用函數(shù)的增減性，以自變量取值范圍中端點(diǎn)的函數(shù)值確定所求的最值.

（二）忽略了a的符號對最值的影響.

在某些問題中，建立起來的二次函數(shù)存在某一種最值，但要求的可能是另一種最值，因此不能盲目地用頂點(diǎn)縱坐標(biāo)求最值，而應(yīng)根據(jù)函數(shù)的增減性及自變量的取值范圍確定.

例2：如圖，正方形ABCD的邊長為4，P是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，QP⊥AP交CD于Q，設(shè)PB=x，△ADQ的面積為y.

（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，△ADQ的面積最大？

（三）忽略了其他函數(shù)在某一條件下存在最值.

在一次函數(shù)y=kx+b中，當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減少.利用一次函數(shù)的增減性質(zhì)，結(jié)合實(shí)際問題中自變量的取值范圍，可解決有關(guān)最大利潤、最低運(yùn)費(fèi)等的實(shí)際問題.

例3：某報(bào)刊銷售亭從報(bào)社購進(jìn)某晚報(bào)的價(jià)格是每份0.7元，銷售價(jià)是每份1元，賣不掉的報(bào)紙還可以以每份0.2元的價(jià)格退回報(bào)社.在一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)算），有20天每天可以賣出100份，其余10天只能每天賣出60份，但每天報(bào)亭從報(bào)社訂購的份數(shù)必須都相同.若報(bào)亭每天從報(bào)社訂購報(bào)紙的份數(shù)為x（份），每月所獲得利潤為y（元）.

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；

（2）報(bào)亭應(yīng)該每天從訂購多少份報(bào)紙，才能使每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？

由題意可建立y與x的函數(shù)關(guān)系：y=0.3（20x+10×60）-0.5×10（x-60），即y=x+480.學(xué)生往往沒有注意到自變量的取值范圍，認(rèn)為該函數(shù)不存在最值，因而無從下手.事實(shí)上由題設(shè)可知，自變量的取值范圍為60≤x≤100，且x為正整數(shù)，由于y隨x的增大而增大，故當(dāng)x取最大數(shù)值100時(shí)，對應(yīng)的y值最大，最大利潤為580元.

例4：某商場出售一批進(jìn)價(jià)為2元的賀卡，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價(jià)x（元）與日銷售量y（個(gè)）之間有如下關(guān)系：

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)猜測并確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)經(jīng)銷此賀卡的銷售利潤為w元，試求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.若物價(jià)局規(guī)定此賀卡的售價(jià)最高不能超過10元/個(gè)，請求出當(dāng)日銷售單價(jià)x定為多少元時(shí)，才能獲得最大的日銷售利潤？

例5：在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-2，-4），B（-1，-2），點(diǎn)P在y軸上，且PA+PB的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

如圖，聯(lián)想在直線上到直線同側(cè)兩點(diǎn)距離和最小的點(diǎn)的作法，作出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，求出直線A′B的函數(shù)表達(dá)式，再求出直線A′B與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)即為所求.這里，利用對稱性質(zhì)把PA轉(zhuǎn)化，構(gòu)造三角形兩邊和大于第三邊的不等模型，當(dāng)點(diǎn)P落在這一特殊位置上時(shí)，PA+PB的值最小.

二

那么，如何引導(dǎo)學(xué)生走出最值問題思維的誤區(qū)呢？下面我談?wù)勗诮虒W(xué)中的做法.

（一）引導(dǎo)多方思考，加強(qiáng)知識聯(lián)系.

最值問題，涉及知識面廣，解題方法靈活.出現(xiàn)以上誤區(qū)，原因之一在于思維定勢的負(fù)面效應(yīng)，原因之二在于學(xué)生思維比較狹窄.因此，教學(xué)中應(yīng)對一般二次函數(shù)的最值問題與其他最值問題進(jìn)行比較，讓學(xué)生明確在什么情況下，可直接由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值；什么情況下，需借助函數(shù)增減性并利用自變量取值范圍求最值；什么情況下，需構(gòu)造不等模型求最值.對生活中的函數(shù)問題、圖形中的函數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自變量的取值范圍，關(guān)注函數(shù)的增減性，加強(qiáng)相關(guān)知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

（二）借圖像識增減，提高思維效率.

生活及圖形中的函數(shù)最值問題，往往與函數(shù)自變量取值范圍（函數(shù)的有界性）及函數(shù)的增減性有關(guān)，這些從函關(guān)系式上理解比較困難，借助圖像觀察，往往一目了然.因此，在教學(xué)中，應(yīng)通過引導(dǎo)學(xué)生對圖像的觀察，加深對函數(shù)有界性和增減性的理解，從中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律，在加深函數(shù)認(rèn)識的過程中去發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最值，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性.

（三）通過動態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)不變規(guī)律.

對圖形中的最值問題，可以利用幾何畫板等制作動態(tài)圖形，借助圖形的動態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生探索圖形性質(zhì)，幫助建立圖形中的函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論；通過數(shù)值自動跟蹤及軌跡跟蹤.讓學(xué)生認(rèn)識函數(shù)的有界性及增減性，認(rèn)識函數(shù)的最值，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.如在上面的例2中，可用幾何畫板制作動態(tài)圖形，讓點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，△ADQ的面積隨之變化，同時(shí)進(jìn)行數(shù)值和軌跡跟蹤，讓學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)動點(diǎn)P運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時(shí)，在圖像上對應(yīng)于拋物線的最低點(diǎn)，即頂點(diǎn)的坐標(biāo)，說明頂點(diǎn)并非取得最大值，而是取得最小值.當(dāng)點(diǎn)P向B運(yùn)動時(shí)，函數(shù)的值趨近于8，當(dāng)P與B重合時(shí)函數(shù)的值最大，最大值為8.

綜上可知，通過探索函數(shù)最值思維誤區(qū)及應(yīng)對策略，既有利于避免出現(xiàn)解答最值問題上的錯(cuò)誤，又有利于促進(jìn)不同知識的整合.在教學(xué)中，首先必須讓學(xué)生熟練掌握用頂點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)最值的方法，通過不同最值問題的比較，形成最值問題解答技巧，提高綜合運(yùn)用知識的能力.