一道數列極限考研試題的多種解法

摘 要： 極限是研究數學分析的主要工具，數列極限則是其最基本的內容之一.本文對一道經典考研數列極限試題進行剖析，并給出該題的多種解法.

關鍵詞： 數列極限 定積分 Stloz公式 微分中值定理 放縮法

數學分析主要的研究對象是函數，而極限是研究數學分析的主要工具，并貫穿于整個數學分析內容始終，所以正確理解極限思想是學好數學分析的關鍵所在.數列極限是最基本的極限知識，熟練掌握數列極限的解題方法是基礎.下面對一道經典數列極限考研試題進行剖析，并給出該題的多種不同解法.

這道極限題是全國許多高校的碩士研究生入學考試數學分析試題，有試卷根據考試的年份取一個特定的自然數，事實上，這里P可以是大于零的任意實數.下面給出具體解法.

1.利用定積分的定義

定積分的定義法主要是在求數列極限中有著重要的應用，是利用極限定義一種特殊的極限——和式極限，這種極限比一般的極限的條件要高得多.其適用范圍是：首先，一般要求被求極限的數列是一個和式極限或者可以化為和式極限的形式；其次，這個和式極限能化成黎曼和式極限.

2.利用Stloz定理

2.1利用微分中值定理

微分中值定理的結論只是一個存在性結果，不具有普遍性，而極限要求得出的是一個“大勢所趨”普遍性的結論，因此利用微分中值定理求極限要求導函數的極限必須存在，如文獻[3].相應的還有用導數定義求極限，與前面利用定積分定義求極限一樣，一般只能用于求極限值，而不能用于證明極限存在.這些都需要學習者充分理解極限的概念，才能辨別求極限9ZS/dZue513f6UaLZLI3XQ==值和證明極限存在二者之間的差別和聯系.此時（*）有，

2.2利用放縮法

放縮法是求極限的一個最基本的方法，先通過放縮被求極限，將其轉化為比較簡潔或者已知的極限，再求原式的極限，如迫斂性定理.這種方法看似簡單，但在實際操作中一定要把握好放縮的“度”.

一般來說，利用放縮法證明極限是比較常用的方法，目標明確，便于控制放縮的“度”.而在用其求極限時，一定要小心謹慎，最好是能先猜出問題的答案，這樣就轉化為用放縮法求或證明極限.將數列極限轉化看成更一般的函數，利用海涅定理得出該問題對應一般函數的極限.針對填空和選擇題，海涅定理不失為求數列極限的一個良策.對于（*）式，我們可以先轉化為一般函數極限，多次用洛必達法即可得出正確答案.

3.積分判別法

參考文獻：

[1]淮乃存.利用定積分定義求數列極限[J].陜西師范大學學報，2003，4（31）：30-33.

[2]歐陽光中，姚允龍.數學分析（上冊）[M].上海：復旦大學出版社，1991，（10）：32-35.

[3]華中師范大學數學系.數學分析上冊（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1993，（3）：162-163.

[4]裴禮文.數學z分析中的典型問題和方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006，（4）：32-60.