歐拉—拉格朗日方程的推廣

　　摘要： 變分法是處理泛函極值的一種數學方法，歐拉—拉格朗日方程是基于變分法得到的，該方程在除數學外的很多其他領域有著廣泛的運用.如果能將歐拉—拉格朗日方程的應用范圍進一步擴大，即條件減弱或者放松限制條件，就可以使已有的結論更完善.本文運用變分法，得到更普遍適用的歐拉—拉格朗日方程.
　　關鍵詞：Hamilton原理變分問題歐拉—拉格朗日方程
　　
　　1.引言
　　變分法用于極值泛函問題，運用范圍非常廣泛，其中一個重要定理是歐拉—拉格朗日方程［１］.在分析力學里，由Hamilton原理一個動力系統(tǒng)的拉格朗日函數是描述整個物理系統(tǒng)的動力狀態(tài)的函數，定義為動能減去勢能，以方程表示為L=T-V；其中L為拉格朗日量，T為動能，V為勢能.拉格朗日量是動能T與勢能V的差值L=T-V［2］.
　　一個物理系統(tǒng)的拉格朗日函數所構成的泛函的變分問題：在時間段［t■，t■］內的一切容許運動中，真實的運動必使L取極值對應于尋求泛函的臨界點，在尋找函數的極大、極小值時，一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似［3］，借此人們可以得到該物理系統(tǒng)的動力行為表達，具體描述如下：設f是關于自變量的二次連續(xù)可微函數，若S=L（u）=■f（x，u，u■，…u■）dx在u（x）=■（x）取極值，則f■（x，■（x）），■■（x），…，■■（x））-■?鄣■f■（x，■（x）），■■（x），…，■■（x））=0.
　　這里我們采用下述記號，設f為在Ω上定義的連續(xù)函數，記f的支集suppf為suppf=■，記C■為Ω上定義的直到k階導數都連續(xù)的函數的集合，記C■■（Ω）為C■（Ω）中其函數的支集為包含在Ω內的緊集的函數的集合［4］.f■為函數f對變量u的一階導，u■為函數u對變量x■的一階導，f■為函數f對變量u■的一階導，f■為函數f的k階導（依次對變量u■，…u■求一階導）.為導出上述變分問題有解的必要條件，如下引理.
　　引理：對任意φ∈C■（Ω）有■f（x）φ（x）dx=0，其中f∈C（Ω），則在Ω上f≡0［5］.
　　2.主要結論
　　上述得到的歐拉—拉格朗日方程涉及的是變量的一階偏導，如果L涉及變量的高階偏導那么上述方程就不適用了.為了使其運用范圍進一步擴大，本文通過運用變分法，得到更普遍適用的歐拉—拉格朗日方程.
　　定理1：設f是關于自變量的四次連續(xù)可微函數，若
　　S=L（u）=■f（x，u，u■，…u■，u■，u■，…u■）dx
　　在u（x）=■（x）取極值，則
　　f■（x，■（x），■■（x），…■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））-■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））+■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））=0
　　證明：設在u=（x）=■（x）時L（u）取極值，取φ∈C■（Ω），取絕對值分小的a，使得■+aφ屬于容許函數類，則
　　L（a）=L（■+aφ）=■f（x，■（x）+aφ（x），■，…，■，…■…）dx即L（■+aφ）為a的函數，且當a=0時函數L（a）取極值.故有
　　L′（0）=■f■（x，■（x），■■（x），…■■（x），…■■（x），…）φ（x）dx+■■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx+■■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=0
　　由定理1
　　Ⅱ=-■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x））φ（x）dx
　　同理對Ⅲ式運用Gauss公式及φ∈C■（Ω），得
　　Ⅲ=■■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx=■?鄣（■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx-■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■（x）dx=■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■·nds-■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■（x）dx=-■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■（x）dx=-■?蘩■?鄣■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ（x））dx+■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ（x））dx=■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ（x））dx從而在u（x）=■（x）
　　L′（0）=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=■（f■-■?鄣■f■+■?鄣■f■）φdx=0
　　由引理，在Ω上恒有
　　f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））-■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））+■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））=0定理2：設f是關于自變量的2k次連續(xù)可微函數，若
　　S=L（u）=■f（x，u，…u■，…，u■，…u■，…）dx
　　在u（x）=■（x）取極值，則在■（x）
　　f■-■?鄣■f■+■?鄣■■f■+（-1）■■?鄣■■f■=0.
　　
　　參考文獻：
　　［1］Fomin，S.V.and Gelfand，I.M.：Calculus of Variations，Dover Publ.，2000.
　　［2］Lebedev，L.P.and Cloud，M.J.：The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics，World Scientific，2003：1-98.
　　［3］Charles Fox：An Introduction to the Calculus of Variations，Dover Publ.，1987.
　　［4］Herbert Goldstei.Classical Mechanics，2nd ed.，Addison Wesley，1980：35-69.
　　［5］吳方同.數學物理方程，2001：13-16.
　　
　　基金項目：江西科技學院自然科學研究項目“熱方程的理論研究及應用”（ZR12YB15）.