淺議因式分解方法

摘 要：因式分解是初中八年級第十五章的學習內容，是一種式子的恒等變形，是整式乘法的逆過程。它被廣泛應用于初等數學之中，是我們學習數學的工具之一，因式分解方法靈活，技巧性強。對學生綜合分析能力要求較高。

關鍵詞：因式分解 提公因式 公式法 十字相乘法 分組分解法

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）05（a）-0161-02

初中數學教材課程標準要求會用提公因式法、公式法（直接用公式不超過二次）進行因式分解（指數是正整數），但在解一元二次方程時用到十字相乘法，有時還會用到分組分解法，大多數同學對分解因式看著簡單，但遇到題不能用合適的方法去解決，因此同學們都覺得很神秘。因式分解用到的數學思想和方法很多，下面就這方面進行討論。

1 定義

把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

2 因式分解與整式乘法的關系

因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即

從左到右是因式分解。

從左到右是整式乘法。

3 下面我們討論因式分解的幾種辦法

3.1 提公因式法

由，可得。

就像這樣把分解成兩個因式積的形式，其中一個因式是各項的公因式m；另一個因式是除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法。

它們各項都有一個公因式m，我們把因式m叫做這個多項式的公因式。

找公因式具體方法如下。

首先，看各項系數是否有公約數，如果有則提取系數的最大公約數。

其次，看各項是否有共同的字母，如果有就提取各項共同字母中指數最小的冪。

最后，若首項為負，可把符號和公因式一起提取。

提公因式法分解因式的例子。

3.2 公式法

（1）像多項式與多項式都可以寫成兩個數的平方差的形式，對于這種形式的多項式，可以利用平方差來分解因式。把整式乘法的平方差公式反過來就得到 即兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積。平方差公式分解因式的例子。

（2）兩個數的平方加上（或減去）這兩個數的積的2倍，這恰是兩個數的和（或差）的平方。我們把和這樣的式子叫做完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多項式分解因式。

把整式乘法的完全平方公式：

反過來，就得到：

即兩個數的平方加上（或減去）這兩個數積的2倍，等于這兩個數的和（或差）的平方。完全平方舉例。

3.3 十字相乘法

二項式乘二項式的多項式乘法就等于一個二次三項式即

反過來二次三項式分解因式就等于兩個二項式的積

，能用十字相乘法分解因式的多項式的特征如下。

（1）二次項系數是1。

（2）常數項是兩個數之和。

（3）常數項是兩個數的積。

具體步驟如下。

（1）列出常數項分解成兩個因數的積的各種可能。

（2）嘗試各種分解中那兩個因數的和恰好等于一次項系數。

（3）關鍵乘積等于常數項的兩個因數和是一次項系數，二次項、常數項分解豎直寫符號決定于常數式，交叉相乘驗中項橫向寫出兩因式，例如：

例1：它們各項都有一個公因式m，我們把因式m叫做這個多項式的公因式。

因式分解。

分析：因為

從上面幾個例子可以看出十字相乘法對于二次三項式的分解因式十分方便，大家一定要熟練掌握。但要注意，并不是所有的二次三項式都能進行因式分解，如在實數范圍內就不能再進一步因式分解了。

3.4 分組分解法

形如多項式中既沒有公因式，也不能用公式法分解。由于而這樣就有：

利用分組來分解因式的方法叫分組分解法。

如果一個分組提公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項就可以用分組分解法來分解。舉例

4 選擇正確的因式分解法

一般來說，遇到一個多項式首先看它有沒有公因式，如果有公因式先提公因式；如果沒有公因式考慮公式法，在用公式法時，如果多項式只含兩項式先考慮平方差公式，如果是三項式考慮用完全平方公式；如果既不能提公因式，又不能用公式法分解時，在考慮用“十字相乘法”和“分組分解法”。

5 檢驗因式分解是否正確的方法

（1）結果必須是幾個整式的積的形式。

（2）結果中每個因式不能再分解因式。

（3）結果中幾個因式的積必須等于原多項式。

因式分解在初中數學學習中應用很廣泛，就像有關整除性問題、分式化簡、化簡求值、解一元二次方程、利用因式分解證明等（不等）式等等。都要用到因式分解，是我們解決數問題的有力工具之一。

參考文獻

[1]向鶴梅，葉堯城.數學課程標準教師讀本[M].武漢：華中師范大學出版社，2003.

[2]林群.義務教育課程標準實驗教科書數學[M].人民教育出版社，2008，3.