拋物線焦點弦性質的探究

摘 要：對拋物線焦點弦的性質進行系列探究，推導并歸納出12個性質，對拋物線的定義、直線方程、根與系數的關系和平面幾何等知識的綜合應用，考察數形結合的數學思想的題目和相應客觀題，提高思維起點，迅速求解。

關鍵詞：拋物線 焦點 弦 性質 直線 方程 相切

中圖分類號：G623 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）07（c）-0178-02

平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.由于拋物線定義的特殊性，使得它有許多其他圓錐曲線所沒有的特征，特別是拋物線過焦點的弦的性質尤其突出，同時也是高考中經常要考查的熱點內容。下面筆者就拋物線焦點弦的性質進行一系列探究，請各位方家不吝賜教。

若拋物線的焦點為F，過點F傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點（如圖1），

證明：如圖6，由導數知識可得曲線，在處切線的斜率為，所以過點A的切線方程為。

D是M，N的中點，則，由性質1可知，，所以，經檢驗，D點坐標滿足切線方程。

所以直線DA與拋物線相切，同理可得直線DB也與拋物線相切。

注：（1）過拋物線上一點的切線方程還可寫成。

（2）利用性質12就可以解釋拋物線的光學性質。連接DA并延長到P點，過A作，則AQ為法線，如圖6，在圓內接四邊形AMDF中，，而，所以，而，所以，。若PA為入射光線，則AF為反射光線。所以當一束平行于拋物線的軸的光線，經過拋物線反射交于焦點；根據光線的可逆性，從焦點發出的光線，經過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的軸.

上述結論如果能夠理解掌握、靈活應用，對于那些重在考察拋物線的定義、直線方程、根與系數關系和平面幾何等知識的綜合應用題目，考察數形結合數學思想的題目和相關客觀題的處理，均可以提高思維起點、拓展思路，并迅速求解。

參考文獻

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