Banach格上正則緊算子的空間①

摘 要：本文給出了格上所有從到的正則-緊算子空間在范數下是空間，當且僅當是空間，且是空間。

關鍵詞：格 緊算子 空間

中圖分類號：O177.2 文獻標識碼：A 文章編號：1673-3791（2013）07（c）-0029-02

假設為格，是的線性算子，如果將上每個序有界子集映到上的相對緊子集，則稱為緊算子。Fremlin在1997年介紹了該算子[3]。1983年，Zaanen研究了格上緊算子共軛性質[4]。他證明了如果：是正則的緊算子，具有序連續范數，則是緊算子。相應地，如果具有序連續范數且是緊算子，則：是緊算子。2007年，B.Aqzzouz研究了格上正則緊算子的控制性質。他們得到如下結果：算子是緊算子當且僅當具有序連續范數或是離散的[5]。2009年，B.Aqzzouz進一步考慮了正則緊算子空間的向量格。他們指出了是Dedekind完備的向量格當且僅當具有序連續范數或是離散的且是Dedekind完備的[6]。

本文給出在范數下是空間的充要條件。

假設為格，下面記 為到上所有正則緊算子空間，為到上所有緊算子空間。且記 ≥。Banach格是 ≥空間當且僅當。因此，格是空間當且僅當 。

令，，則從到上的線性算子定義為。

對于格及其上的算子理論可參考文獻[1，2]。

1 主要結果

定理2.1假設和是兩個非零的格，則在范數下是空間當且僅當是空間且是空間；

證明：（1）假設在范數下是空間。

固定，且。令，算子和是正算子，且范數分別為和，這兩個算子的和是，且范數為。因是空間，于是：

下面是同構的情況，詳細的證明在此省略。

定理2.2：設和是兩個非零的Banach格，則具有范數的與空間同構的充要條件是是空間，是空間。

參考文獻

[1]Aliprantis，C.D.，Burkinshaw，O.，Positive Operators.Academic Press，New York，1985.

[2]Meyer-Nieberg，P.，Banach Lattices. Springer Verlag，Berlin，Heideberg，New York，1991.

[3]Fremlin，D.H.， Riesz spaces with the order continuity property.I.Math.Proc.Cambridge Philos.Soc.1997，81（1）：31-42.

[4]Zaanen， A.C.， Riesz Space II. North-Holland Mathematical Library 30， North-holland， Amsterdam， 1983.

[5]Aqzzouz，B.and Nouria，R.，Compactness properties of operators dominated by AM-compact operators.Proc.Amer.Math.Soc.2007，135（4）：1151-1157.

[6]Aqzzouz，B.，Eljadida S.，and Nouira R.，Kenitza，The order-complete vector lattice of AM-compact operators.Czechoslovak Mathematical Journal.，827-834.

[7]Chen Z.L.，and Wickstead A.W.，The order properties of r-compact operators on Banach lattices， Acta Math.Sinica.2007，23（3）：457-466.

[8]Chen Z.L.，and Wickstead A.W.， Incompleteness of the linear span of the positive compact operators， Proc.Am.Math.Soc.，1997，125：3381-3389.

[9]Wickstead A.W.， AL-space and AM-space of operators， Positivity，2000，4：303-311.