實負定二次型的判別與證明

摘 要： 本文給出六種方法判斷二次型的負定性，便于學生更好地解決問題.

關鍵詞： 負定矩陣 二次型 對稱矩陣

實負定（負定矩陣）二次型的判別方法通常有以下幾種：（1）定義法；（2）負慣性指數等于n；（3）順序主子式的奇數階主子式為負，而偶數階主子式為正；（4）通過與矩陣-E合同；（5）二次型矩陣的特征值都為負；（6）存在可逆實矩陣P，使A+P′P=0[1].二次型負定的必要條件是它的矩陣的主對角線上的元素都為0，可幫助排除非負定的二次型.下面通過實例分析以上方法的具體應用.

例1：判定二次型f=2xx+2xx-6xx的負定性.

解：f的矩陣為A=0 1 11 0 -31 -3 0，由負定矩陣的必要條件可知此二次型不是負定二次型.

例2：判定二次型f=-5x-6x-4x+4xx+4xx的負定性.

解：方法1：f的矩陣為A=-5 2 2 2 -6 0 2 0 -4，a=-5<0，-5 2 2 -6=26>0，-5 2 2 2 -6 0 2 0 -4=80<0，所以由順序主子式法可知此二次型是負定二次型.

方法2：|λE-A|=λ+5 -2 -2 -2 λ+6 0 -2 0 λ+4=（λ+8）（λ+5）（λ+2）=0，所以λ=-8，λ=-5，λ=-2，有特征值法可知此二次型為負定二次型.

方法3：應用初等變換法對二次型配方，化二次型為標準型為f=-5y-（26/5）y-（68/65）y，負慣性指數為3，所以此二次型是負定二次型.

例3：如果A，B都是n階負定矩陣，則A，A+B也是負定矩陣.

證明：因為A是負定的，所以A可逆，而且存在可逆實矩陣P，使A+P′P=0，A=-P′P，等式兩邊同時取逆，A=（-P′P），A=-P（P）′，A+P（P）′=0，所以A是負定矩陣.

因為A，B都是n階負定矩陣，所以對于任意實向量x≠0，有x′Ax≠0，x′Bx≠0，所以，x′（A+B）x=x′Ax+x′Bx≠0由負定二次型的定義可知，A+B也是負定矩陣.

例4：已知A是可逆矩陣，證明-A′A是負定的.

證明：因為（-A′A）-A′A=-A′A，-A′A，所以是對稱的，-A′A=A′（-E）A，所以-A′A和-E是合同的，則-A′A是負定的.

例5：已知A是n階負定矩陣，判斷A（k為大于1的正整數）的負定性.

解：因為A是負定矩陣，所以A的特征值都為負，設它的特征值分別為λ，λ，…，λ，則A的特征值為λ，λ，…，λ.設當k為偶數時，A的特征值均為正的，所以A為正定矩陣；而當k為奇數時，A的特征值均為負，所以A為負定矩陣.

參考文獻：

[1]李秀英.負定二次型與半負定二次型[J].通化師范學院學報，2002，23（2）.