關于方程的根的一些討論

摘 要： 本文利用閉區間上函數的連續性定理和微分中值定理對方程根的相關問題進行了討論.

關鍵詞： 方程 根 零點定理 羅爾定理

利用微積分學的知識討論方程的根或函數的零點是比較常見的應用.通常是先根據連續函數的零點定理、羅爾定理等證明根的存在性；再利用函數的單調性、極值、最值等確定方程的根的個數，羅爾定理常被用于反證法證明根的唯一性.下面將對方程根的存在性、唯一性，以及根的個數分別進行詳細討論.

一、關于方程根的存在性及范圍的討論

問題模型：證明方程f（x）=0在區間（a，b）內存在實根.

解決方法：

二、關于方程根的唯一性的討論

問題模型：證明方程f（x）=0存在（或在區間（a，b）內存在）唯一實根.

解決方法：先利用零點定理（或羅爾定理）證明方程f（x）=0至少有一個實根；再利用函數的單調性（或用反證法，由羅爾定理導出矛盾）證明方程f（x）=0最多有一個實根.

例3：證明方程xlnx=1在區間（1，e）內有唯一的實根.

證：設函數f（x）=xlnx-1，則f（x）在[1，e]上連續，且f（1）=-1<0，f（e）=e-1>0，由零點定理可知，至少存在一個點ξ∈（1，e），使f（ξ）=0，即方程xlnx=1在區間（1，e）內至少有一實根.

三、關于方程根的個數的討論

問題模型：討論方程f（x）=0的根的個數.

解決方法：首先求出函數f（x）的駐點和一階導數不存在的點，用這些點將f（x）的定義域劃分為若干單調增減區間；然后求出f（x）的極值（或最值）；再分析函數的極值（或最值）與軸的位置關系，并借助極限分析函數的變化趨勢；最后結合零點定理和函數的單調性可求出函數f（x）的根的個數及各根所在區間.

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