“經(jīng)驗(yàn)型”數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)誤區(qū)分析

在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是總目標(biāo)中的重要內(nèi)容，即“通過(guò)義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，并且要求作為積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)重要載體的“綜合與實(shí)踐”教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次[1]。

從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，筆者以為有部分?jǐn)?shù)學(xué)活動(dòng)反映了人們認(rèn)識(shí)還存在著誤區(qū)?，F(xiàn)以部分實(shí)驗(yàn)教材或配套綜合實(shí)踐活動(dòng)教材中內(nèi)容為例，從一線教師設(shè)計(jì)與開發(fā)“經(jīng)驗(yàn)型”數(shù)學(xué)活動(dòng)的角度做些分析，并盡可能加以改進(jìn)，以求能夠更好地發(fā)揮“經(jīng)驗(yàn)型”數(shù)學(xué)活動(dòng)的作用。

一、 “幼稚化”誤區(qū)

僅僅是量量拼拼這樣的操作活動(dòng)而不做活動(dòng)后的理性提升是“幼稚化”的表現(xiàn)：對(duì)于學(xué)生的思維能力估計(jì)不足，人為降低了應(yīng)該達(dá)到的要求。其實(shí)，活動(dòng)是基礎(chǔ)，通過(guò)活動(dòng)會(huì)形成初步感性認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行提升，上升到理性認(rèn)識(shí)的高度，這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)才能算是真正意義上的“經(jīng)驗(yàn)型”數(shù)學(xué)活動(dòng)，也才是有價(jià)值的。

案例一：“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”[2]

如圖1，畫∠AOB=90°，并且畫∠AOB的平分線OC。

（1）將三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任一點(diǎn)P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)E、F，并比較PE、PF的長(zhǎng)度。

（2）把三角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，比較PE、PF的長(zhǎng)度，你能得到什么結(jié)論？你的結(jié)論一定成立嗎？與同學(xué)交流。

分析：蘇科版配套教師用書中指出，學(xué)生對(duì)本節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室探索得到的結(jié)論就有如何“說(shuō)理”的需求，雖然學(xué)生暫時(shí)不能解決，但這個(gè)懸念促使學(xué)生向往、追求著“說(shuō)理”，結(jié)論（PE=PF）的證明，安排在九（上）“圖形與證明（二）中”[3]?？梢?，編者認(rèn)為此處結(jié)論僅僅是通過(guò)觀察與測(cè)量而獲得的。

此處，操作確實(shí)有必要，量一量有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)有助于輔助線的添加，問(wèn)題是，量量轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)就結(jié)束的話，將學(xué)生的理解能力估計(jì)得偏低了一些。事實(shí)上，從蘇科版教材來(lái)看，說(shuō)理所需要的知識(shí)（角平分線性質(zhì)與三角形全等的知識(shí)）學(xué)生早已具備，而圖形旋轉(zhuǎn)中兩種特殊情況（①PE⊥AO，四邊形PEOF為正方形；②E、O重合，△POF為等腰直角三角形）其中任意一種均提示了要說(shuō)理所需添加的輔助線，加上之前學(xué)生又多次進(jìn)行了“用分行的‘因?yàn)椤浴碛墒恰绞降恼f(shuō)理”[3]。如果不進(jìn)行說(shuō)理，活動(dòng)中積累了的感性認(rèn)識(shí)便得不到提升，學(xué)生的思維能力便無(wú)法得到進(jìn)一步發(fā)展。容易實(shí)施的建議是，教師在活動(dòng)后增加“說(shuō)理”的要求：你能夠利用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)明該結(jié)論是正確的嗎？與同學(xué)交流。

二、 “手工化”誤區(qū)

“經(jīng)驗(yàn)型”數(shù)學(xué)活動(dòng)首先是關(guān)于數(shù)學(xué)的活動(dòng)，其目的是學(xué)生能夠主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科的一些核心知識(shí)（即對(duì)于學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)不可或缺的知識(shí)或者經(jīng)常要用到的知識(shí)），感受常見的數(shù)學(xué)思想方法，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思維方式，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

案例二：制作一個(gè)五角星

通過(guò)折紙（圖2），你能制作一個(gè)五角星嗎？沿不同的角α剪開，得到的五角星形狀相同嗎？哪一種更美觀？變換不同的角α試一試！

分析：這個(gè)例子介紹了剪五角星的方法，它關(guān)注的是剪得五角星，關(guān)注的是是否美觀，并沒(méi)有從數(shù)學(xué)的角度來(lái)進(jìn)一步分析，稱為手工活動(dòng)比較合適。

需要指出的是，軸對(duì)稱圖形其對(duì)稱軸的條數(shù)決定著將平角平分相應(yīng)等份數(shù)的數(shù)目（如果某個(gè)軸對(duì)稱圖形有n條對(duì)稱軸，那么需要將折疊得到的平角n等分），這是設(shè)計(jì)具有一定條數(shù)軸對(duì)稱圖形的核心，也是能夠遷移的關(guān)鍵。對(duì)此，最好能夠讓學(xué)生在活動(dòng)中自行發(fā)現(xiàn)，如有難度，至少應(yīng)該努力讓他們感受到。建議做如下改進(jìn)。

1.觀察一個(gè)正五角星，如圖3，猜測(cè)該圖形有何特征。

（①是軸對(duì)稱圖形，有5條對(duì)稱軸；②5個(gè)角度數(shù)相等，都是36°，其和為180°；③是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度數(shù)為72°；④E、F、G、B在同一直線上。）

2.驗(yàn)證你的猜測(cè)。

（相應(yīng)方法分別是：折疊，度量，旋轉(zhuǎn)，直尺畫直線）

3.試對(duì)1.中結(jié)論②、結(jié)論③進(jìn)行說(shuō)理。

4.剪五角星

（1）折紙 按照?qǐng)D4（1）——（2）方法折紙

思考：

①為何要將一個(gè)平角五等分？猜一猜：“五等分”中數(shù)字“五”跟圖形對(duì)稱軸條數(shù)有何關(guān)系？

②每一等分是多少度？

③如要求剪一個(gè)具有六條或者八條對(duì)稱軸的圖形，如何折紙？n條呢？

（2）剪紙 沿著圖4（2）中AG剪紙，得五角星（圖4（3））

思考：

①為使得E、F、B、G在同一直線上，∠AGO必須是多少度？ （可以測(cè)量。）

②不借助于測(cè)量，你能算出∠AGO的大小嗎？

③你能夠由算出的∠AGO度數(shù)來(lái)說(shuō)明E、F、B、G在同一直線上嗎？

（思路：圖3中∠AGF=72°，∠AGO=126°，從而∠OGF=54°，由∠FGB=180°得F、G、B在同一直線上。）

④猜測(cè)：當(dāng)∠AGO大小發(fā)生變化時(shí)，五角星的形狀會(huì)如何變化？做一做，驗(yàn)證你的猜測(cè)。

三、 “競(jìng)賽化”誤區(qū)

“經(jīng)驗(yàn)型”數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)該是活動(dòng)時(shí)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況“生長(zhǎng)”出來(lái)的，即是由學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)出來(lái)的，而不是憑空出現(xiàn)、給人感覺(jué)是從天上掉下來(lái)的，同時(shí)，需要解決的問(wèn)題其綜合性也不宜過(guò)強(qiáng)，應(yīng)以大多數(shù)學(xué)生能夠理解接受為宜，否則，活動(dòng)就“變味”了，變成了數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)活動(dòng)。

案例三： “棋盤上馬的行蹤”（節(jié)選）

1.活動(dòng)1：如圖5，棋子“馬”（6，4）跳幾步可從現(xiàn)在的位置跳到點(diǎn)M（3，2）的位置？描述你的走法，并與同學(xué)交流。

思考1：最少幾步可以走到？還可以幾步走到？

思考2：你發(fā)現(xiàn)了“可以跳到”的步數(shù)有什么特點(diǎn)嗎？能解釋其中的原因嗎？

2.活動(dòng)創(chuàng)新2：如果棋盤足夠大，一匹“步伐”為1×n的“馬”能否從任意位置出發(fā)，不重復(fù)不遺漏地走遍整個(gè)棋盤（即每一點(diǎn)都走到并且只走一次）？請(qǐng)寫出你的結(jié)論。

分析：對(duì)于“活動(dòng)1”，書中卡通人指出，“不妨將‘馬’目前的位置涂成黑點(diǎn)，與黑點(diǎn)相鄰位置涂成白點(diǎn)，依次將半張棋盤全部標(biāo)記，這將有助于尋找規(guī)律”[5]?？ㄍㄈ说闹笇?dǎo)對(duì)于學(xué)生解答該問(wèn)題固然有一定的幫助，然而“為什么要染色，為什么要這么染色”呢？方法從天而降，學(xué)生被牽著鼻子走，在后面活動(dòng)中也不容易想到利用染色圖來(lái)解決問(wèn)題。

筆者猜測(cè)，可能是設(shè)計(jì)者對(duì)于學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平不夠熟悉，沒(méi)有從該角度進(jìn)行審視與修改，相關(guān)內(nèi)容于是便以“空降”的形式出現(xiàn)了。修改建議是從方法的適當(dāng)鋪墊角度做改進(jìn)，增加一個(gè)探索性活動(dòng)，使得方法是“生長(zhǎng)”出的。

（增加）“馬”跳的特征

1.圖5中，如果棋子“馬”的最初位置為點(diǎn)（6，4），只跳一步，可以跳到哪些點(diǎn)？（請(qǐng)用坐標(biāo)來(lái)表示。）

2.從奇偶性角度考慮。

（1）這八個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)和都是什么數(shù)？與最初位置（6，4）坐標(biāo)和相比，奇偶性如何變化？

（2）如果最初位置為點(diǎn)（6，3），跳一步，所到點(diǎn)的坐標(biāo)和都是什么數(shù)？與最初位置（6，3）相比，奇偶性如何變化？

3.現(xiàn)用紅色和黑色來(lái)區(qū)分坐標(biāo)和為奇偶數(shù)的點(diǎn)。點(diǎn)（6，4）涂成黑色。

（1）你覺(jué)得圖5中點(diǎn)（6，3）涂成什么顏色為好？點(diǎn)（0，0）呢？

（2）按照這樣的涂色方法來(lái)對(duì)圖5中的點(diǎn)涂色。這時(shí)所涂顏色有何規(guī)律？

4.在涂色后的棋盤上，馬從點(diǎn)（6，4）出發(fā)，跳一次，跳到的點(diǎn)與點(diǎn)（6，4）顏色相同嗎？

跳兩次，最后跳到的點(diǎn)與點(diǎn)（6，4）顏色相同嗎？跳奇數(shù)次呢？偶數(shù)次呢？

至于“活動(dòng)創(chuàng)新2”，通過(guò)前面的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生僅僅知道棋子“馬”從圖5位置出發(fā)，按照走“日”字的走法能夠不重復(fù)不遺漏地走遍棋盤，欠缺對(duì)于任意一個(gè)位置不重復(fù)不遺漏地走遍棋盤情形的探討，直接跳到“1×n”的情形可謂跨度太大，同時(shí)書中提供的答案并不能令人信服。修改建議是根據(jù)學(xué)生的接受能力適當(dāng)降低問(wèn)題難度，比如：如果棋盤足夠大，一匹“步伐”為1×4的“馬”能否從任意位置出發(fā)，走遍整個(gè)棋盤？請(qǐng)寫出你的結(jié)論。

綜上所述，“經(jīng)驗(yàn)型”數(shù)學(xué)活動(dòng)是關(guān)于數(shù)學(xué)的活動(dòng)，它以學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)中獲得的感性認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知水平、可能的接受能力從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行分析、歸納與提升，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這樣數(shù)學(xué)活動(dòng)方向才不會(huì)發(fā)生偏差，效果才會(huì)更好，因而也才是很有價(jià)值的。

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部制定.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2] 楊裕前，董林偉主編.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)八年級(jí)（下冊(cè)）.南京：江蘇科技出版社，2006.

[3] 楊裕前，董林偉主編.數(shù)學(xué)教師教學(xué)參考資料八年級(jí)（下冊(cè)）.南京：江蘇科技出版社，2007.

[4] 林群主編，李海東分冊(cè)主編.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)七年級(jí)（上冊(cè)）.北京：人民教育出版社，2007.

[5] 楊裕前，董林偉主編.孫朝仁分冊(cè)主編.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng).八年級(jí)（上冊(cè)）.南京：江蘇科技出版社，2010.

（責(zé)任編輯 郭振玲）