2013年高考模擬金卷（一）

（說明：本套試卷滿分200分，考試時間150分鐘）

命題：江蘇啟東中學 金 山

必做題部分

（考試時間120分鐘，測試總分160分）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.

1. 已知復數z=1+■，若復數z為純虛數，則實數a的值為________.

2. 以下程序運行后結果是__________.

i←1

While i<8

i←i+2

S←2×i+3

i←i+3

End While

Print S

3. 如圖1：已知樹頂A離地面■米，樹上另一點B離地面■米，某人在離地面■米的C處看此樹，則該人離此樹_______米時，看A，B的視角最大.

4. 在周長為16的三角形ABC中，AB=6，A，B所對的邊分別為a，b，則abcosC的取值范圍是_______.

5. 設定義域為R的函數f（x）=lgx，x>0，-x2-2x，x≤0，則關于x的函數y=2f 2（x）-3f（x）+1的零點的個數為_______.

6. 已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且3a■+2Sn=3（n為正整數），則數列{an}的通項公式為_______.

7. 直線x=±m（0

8. 過平面區域x-y+2≥0，y+2≥0，x+y+2≤0內一點P作圓O：x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，記∠APB=α，則當α最小時cosα=_______.

9. 已知A，B是橢圓■+■=1的短軸端點，O為坐標原點，C為橢圓上不同于A，B的任意一點，若P為線段OC上的動點，則（■+■）·■的最小值是________.

10. 設點（a，b）在平面區域D={（a，b）a≤1，b≤1}中按均勻分布出現，則橢圓■+■=1（a>b>0）的離心率e<■的概率為________.

11. 下列命題中，正確命題的序號為________.

①經過空間任意一點都可作唯一一個平面與兩條已知異面直線平行；

②已知平面α、直線a和直線b，且a∩α=a，b⊥a，，則b⊥α；

③有兩個側面都垂直于底面的四棱柱為直四棱柱；

④三棱錐中若有兩組對棱互相垂直，則第三組對棱也一定互相垂直；

⑤三棱錐的四個面可以都是直角三角形.

12. 對于大于或等于2的自然數m的n次冪進行如圖2的方式“分裂”；仿此，若m3的“分裂”中最小的數是211，則m的值為____.

13. 已知點P是直線l：ax+y=1上任意一點，直線l垂直于直線y=x+m，EF是圓M：x2+（y-2）2=1的直徑，則■·■ 的最小值為_______.

14. 設f（x）是定義在R上的奇函數，且對于任意的x∈R，f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，當x∈[0，1]時，f（x）=2x. 若方程f（x）=ax恰好有5個不同的解，則實數a的取值范圍是_______.

二、解答題：本大題共6小題，共90分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15. （本小題滿分14分）已知向量a=（2cos2x，■），b=（1，sin2x），函數f（x）=a·b，g（x）=b2.

（1）求函數g（x）的最小正周期；

（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=3，c=1，ab=2■，且a>b，求a，b的值.

16. （本小題滿分14分）在如圖3的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點.

（1）求證：AB∥平面DEG；

（2）求證：BD⊥EG；

（3）求多面體ADBEG的體積.？搖

17. （本小題滿分15分）某工廠有216名工人接受了生產1000臺GH型高科技產品的總任務，已知每臺GH型產品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成. 每個工人每小時能加工6個G型裝置或3個H型裝置. 現將工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置. 設加工G型裝置的工人有x人，他們加工完G型裝置所需時間為g（x），其余工人加工完H型裝置所需時間為h（x）（單位：小時，可不為整數）.

（1）寫出g（x），h（x）的解析式；

（2）比較g（x）與h（x）的大小，并寫出這216名工人完成總任務的時間f（x）的解析式；

（3）應怎樣分組，才能使完成總任務用的時間最少？

18. （本小題滿分15分）如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=1.

（1）若過點C1（-1，？搖0）的直線被圓C2截得的弦長為■，求直線的方程；

（2）設動圓C同時平分圓C1的周長、圓C2的周長.

①證明：動圓圓心C在一條定直線上運動；

②動圓C是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由.

19. （本小題滿分16分）有n個首項都是1的等差數列，設第m個數列的第k項為amk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差為dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差數列.

（1）證明：dm=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多項式），并求p1+p2的值；

（2）當d1=1，d2=3時，將數列{dm}分組如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每組數的個數構成等差數列）. 設前m組中所有數之和為（cm）4（cm>0），求數列2■dm■的前n項和Sn.

（3）設N是不超過20的正整數，當n>N時，對于（2）中的Sn，求使得不等式■（Sn-6）>dn成立的所有N的值.

20. （本小題滿分16分）已知函數f（x）=ln2（1+x），g（x）=■.

（1）分別求函數f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；

（2）證明不等式ln2（1+x）≤■；

（3）對一個實數集合M，若存在實數s，使得M中任何數都不超過s，則稱s是M的一個上界. 已知e是無窮數列an=1+■■所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數的底數），求實數a的最大值.

理科附加題部分

（考試時間30分鐘，測試總分40分）

21. 選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A. 選修4-1：幾何證明選講

如圖5，圓O與圓O1外切于點P，一條外公切線分別切兩圓于A，B兩點，AC為圓O的直徑，T為圓O1上任一點，CT=AC. 求證：CT為圓O1的切線，切點為T.

B. 選修4-2？搖矩陣與變換

已知矩陣A=3 00 4，點M（-1，-1），點N（1，1）.

（1）求線段MN在矩陣A對應的變換作用下得到的線段M′N′的長度；

（2）求矩陣A的特征值與特征向量.

C. 選修4-4：坐標系與參數方程

已知曲線C的參數方程為x=sinα，y=cos2α，α∈[0，2π），曲線D的極坐標方程為ρsinθ+■=-■.

（1）將曲線C的參數方程化為普通方程；

（2）曲線C與曲線D有無公共點？試說明理由.

D. 選修4-5：不等式證明選講

解不等式：x-1-x+2≤2.

必做題：第22題、23題，每小題10分，共20分.

22. 已知數列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an=■， f（n）=S2n，n=1，S2n-S■，n≥2.

（1）計算f（1），f（2），f（3）的值；

（2）比較f（n）與1的大小，并用數學歸納法證明你的結論.

23. 如圖6所示，某城市有南北街道和東西街道各n+1條，一郵遞員從該城市西北角的郵局A出發，送信到東南角B地，要求所走路程最短.

（1）求該郵遞員途徑C地的概率f（n）；

（2）求證：2<[2f（n）]2n+1<3（n∈N？鄢）.