巧借數學模型，促進學生對數學意義的理解和建構

案例背景

在教學完“圓的面積”一課后，學生較為清晰地掌握了圓的面積計算公式的推理過程，也初步掌握了圓的面積計算方法。課后練習中，多數學生對已知半徑或直徑求面積都掌握得不錯，但在課后的作業中，全班42名學生對其中一道題的解答，正確率只有35.7%。這道題是這樣的：

推導圓的面積公式時，將圓等分成若干份，拼成一個近似的長方形。已知長方形的長是9.42厘米，長方形的寬是（ ）厘米，面積是（ ）平方厘米。

為了分析學生的錯誤原因，我與部分學生進行交流，大多數學生表示對長方形的寬怎樣求感到比較茫然，還有學生表示讀這道題感覺讀不懂，不怎么理解。這番交流讓我百思不得其解，為什么學生在學習圓的面積計算過程中，熟練掌握了圓的面積計算公式，卻忽視了對圓的面積計算推導過程的理解和掌握呢？

事實上，在推導圓的面積計算公式時，學生已認識到“圓與轉化后的長方形之間的關系”是推導圓的面積公式的重要前提，但學生在數學學習的過程中更關注的是探究活動的結果，即圓的面積公式是什么。而對于推理過程，學生只能說是在頭腦中有一定的印象，并沒有自覺地將公式的推導過程真正地內化、理解和掌握。

教學實踐

為了進一步促進學生對圓的面積推導過程的理解，筆者在練習課中展開了這樣的教學：

出示習題1：推導圓的面積公式時，將圓等分成若干份，拼成一個近似的長方形。已知長方形的長是9.42厘米，長方形的寬是（ ）厘米，面積是（ ）平方厘米。（如圖1）

師：結合圓的面積推導示意圖，你知道推導過程中的圓和長方形有怎樣的聯系嗎？

生：長方形的長是圓周長的一半，也就是лr，長方形的寬是圓的半徑。

師：在解決這一問題的過程中，我們可以先求出什么？

生：可以用9.42÷3.14求出圓的半徑是3厘米，再用3.14×32求圓的面積。

出示習題2：推導圓的面積公式時，將圓等分成若干份，拼成一個近似的長方形，已知長方形的長比寬多6.42厘米，這個圓的半徑是（ ）厘米，面積是（ ）平方厘米。

師：怎樣解決這道題，原來的圓的面積推導示意圖還可以用嗎？你又從條件中看出什么？

生：我認為圓的面積推導示意圖還可以用，長方形的長比寬多6.42厘米就是說лr比r要多6.42厘米。

師：說得真好！你能借助這個發現求出半徑是多少嗎？學生嘗試解題并交流。

師：剛才我們解決這兩道題時，理解題目的含義借助了什么？有什么作用？

生：我們都借助圓的面積推導示意圖來理解題意。

生：借助示意圖我們能清楚地發現長方形與圓之間的聯系，幫助我們解決問題。

師：不錯，像這樣的圓的面積推導示意圖我們可以看作是一個數學模型，在遇到類似的問題時，我們可以借助數學模型來理解題意。有的時候，這個數學模型還會有一些變化。

出示習題3：如圖2，將一個圓等分成若干份，拼成一個近似的長方形。已知圓的半徑是3厘米，求陰影部分的面積。

師：在這道題中，圓和長方形有怎樣的聯系？陰影部分的面積可以看成什么呢？

……

教學思考

從以往的教學實踐來看，關于“圓的面積計算”的教學，教師往往在教學過程中引導學生通過將圓等分后剪拼為近似的長方形，小組合作探究出圓的面積計算公式。在練習課中，更多的是注重圓的面積公式在實際生活情境中的運用。同時，在圓的面積推導過程中，教師更關注的是這一探究活動的結果，而忽視對這一探究過程的理解和內化。筆者以為，數學探究學習中教師不僅要引導學生關注結果，更要引導學生關注過程，就“圓的面積”計算教學而言，學生在這一探究過程中形成了什么？如何緊緊圍繞學生的數學探究過程促進學生對數學意義的理解和建構呢？筆者從三個方面展開思考：

一、 “圓的面積計算”教學中的“數學模型”在哪里

數學模型是指用字母、數字和其他數學符號構成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、數理邏輯等來描述系統的特征及其內部聯系或與外界聯系的模型。從這個意義上來說，在圓的面積的教學中可以構建兩種不同的數學模型，即從探究過程的角度看，可以建立“圓的面積推導示意圖”這樣的圖像模型；而從探究結果的角度看，則又可以建立“S=лr2”這樣的等式模型。探究結果的模型注重實際應用，即應用這個模型去解決生活中的各種問題，而探究過程中的數學圖像模型，則能促進學生對數學意義的理解和建構。顯然，在圓的面積教學中，建立并有效利用“圓的面積推導”圖像模型理應是教學的應有之意。

二、 如何巧借數學模型，促進學生數學意義的理解和建構

既然建立“圓的面積推導”圖像模型對于“圓的面積計算”教學至關重要，那么教師在教學中必須引領學生在探索圓的面積計算方法時加強對這一模型內涵的理解，在頭腦中形成相應的數學結構，即引導學生理解圓的半徑與轉化后長方形的長、寬之間的聯系，圓與長方形的面積、周長之間的關系。進而，在探究活動中逐步將“圓的面積推導示意圖”上升到數學模型的高度。在此基礎上，針對這一數學模型進行有針對性的訓練，深化學生對數學模型的掌握和理解。

三、 如何在數學教學中拓展與深化數學模型

事實上，本案例中，建立“圓的面積推導”圖像模型的意義還在于，可以將這一模型進行改造和變化，創造延伸出新的圖像模型，進而引導學生在已有的認知經驗基礎上，進行創造性的解題嘗試。同時，由于兩種模型之間的內在聯系，也促使學生在新的模型應用中深化對原有數學模型的理解，建構富有聯系的數學知識結構性網絡，進而對學生的數學學習產生積極而深遠的影響。