設計促進學生思維發展的數學問題

在當前的數學教學中，問題解決已經被看作數學學習活動的核心。問題解決不僅是數學學習的目的，而且是數學學習的重要方式，其不僅能夠幫助學生鞏固、拓展所學的知識與技能，而且也有利于發展學生的數學思維能力、培養學生的探究和創新意識。問題解決與學生的思維活動密切聯系，需要關注學生的思維活動，學生的思維能力會在問題解決過程中得到發展。一線教師應根據具體需要，設計好基于不同思維促進功能的數學問題。

一、 設計好促進分析性思維的問題

所謂分析性思維，是指借助邏輯分析的方法對問題情境中的條件與結論、原因與結果之間的關系作出合情推理的思維過程。這種思維的特點是：重在分析邏輯關系、可能性，較少有創新成果的出現。蘇教版小學數學教材上的一些典型問題都屬于這種類型。

例如，四年級上冊的“解決問題的策略——列表”：

四年級下冊的“解決問題的策略——畫圖”：

梅山小學有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？

上述這些問題都需要學生合理應用綜合法或分析法，對學生分析性思維的發展具有促進作用。

二、 設計好促進實用性思維的問題

實用性思維是指解決實踐情境中的問題所需要的思維技能，又稱實用—情境性思維。實用性思維作為一種獨立的思維形式，能幫助學生良好地應對數學情境中的問題，順利地融入新的數學情境。設計促進學生實用性思維的問題，有利于落實課程標準中通過問題解決發展學生的“應用意識”和“實踐能力”的具體目標。

一般說來，有利于促進學生實用性思維的問題具有如下特征：超越課堂學習情境，以真實生活問題的形式出現。

例如，五年級上冊的“解決問題的策略——列舉”：

例3 旅游團23人到旅館住宿，住3人間和2人間（每個房間不能有空床位），有多少種不同的安排？

六年級下冊的“數的運算整理與復習”：

11.目前，一個城市民用電的電價是0.52元/千瓦時。安裝分時電表的居民實行峰谷電價，收費標準如下。

小剛家一個月大約用電150千瓦時，谷時用電量是峰時用電量的■。安裝分時電表前，每月電費大約是多少元？安裝分時電表后呢？

上述這些問題的解決在一定程度上有利于發展學生的實用性思維。

三、 設計好促進創造性思維的問題

創造性思維是指打破思維定勢，以一種新的、不同于他人的方式思考問題，進而生成新的觀念或產品的思維形式。設計一些能夠促進創造性思維的問題，與問題解決中“形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神”這一具體目標是相對應的。

一般說來，能夠激發學生創造性思維的問題多屬于非常規問題，它們往往具有開放性特征，即：或者解決問題的條件是開放的，或者問題的答案是開放性的，或者問題的解決方法是開放性的。

1.條件開放

例如，三年級上冊的“認數”：

小明家和冬冬家都在太平路上

2.答案開放

例如，三年級下冊的“長方形和正方形的面積”：

同桌合作，用16個1平方厘米的正方形擺成長方形或正方形，并把每次擺的情況填在下表里。

四年級下冊的“認識三角形”：

把一根14厘米長的吸管剪成三段，用線串成一個三角形

3.解題方法開放

例如，五年級下冊的“解決問題的策略——還原”：

小明原來有一些郵票，今天又收集了24張。送給小軍30張后，還剩52張。小明原來有多少張郵票？

六年級下冊的“解決問題的策略——轉化”：

計算■+■+■+■。

教學時，可以分三個層次進行，在解決問題的過程中滲透幾何直觀，培養學生的創造性思維。第一層次，指導看圖、學會轉化。呈現算式后，教師可以給學生一些思考的時間和空間，學生一般會應用通分的方法，轉化成同分母分數進行計算。這時，教師可以鼓勵學生思考其他的方法，當學生思維受阻時，出示直觀圖，先結合各個分數理解直觀圖上各部分的意義，再啟發學生將其轉化為1-■進行計算。第二層次，適當拓展、突出直觀。教師將算式拓展到1+■+■+■+……+■，要求學生選擇上面的方法進行計算，學生一般會選擇畫直觀圖的方法，將算式轉化為1-■進行計算。這時，教師要引導學生思考：為什么喜歡用畫直觀圖的方法？使學生體會到，數與形的完美結合可以幫助我們將復雜的算式轉化成簡單的算式進行計算。第三層次，深度思考、強化直觀。教師可以啟發學生觀察分母的特點：分母分別是2、2個2相乘、3個2相乘、4個2相乘……在直觀圖上先把正方形平均分成2份，取其中的1份，再把剩下的圖形平均分成2份，取其中的1份……最后分出的圖形與剩下圖形相等，借助直觀圖，要求涂色部分的大小，只需用單位“1”減去剩下圖形的大小即可。在應用轉化策略解決問題的同時，巧妙借助幾何直觀，把復雜的計算問題轉化成簡單的計算問題，不僅可以培養學生初步的幾何直觀觀念，還有利于發展學生的創造性思維。

再如，復習平面圖形周長和面積時，可以自主設計促進創造性思維的問題。

右圖中兩條線段是什么關系？如果水平線段的長度是垂直線段長度的2倍，根據這幅圖你能想象出哪些我們學過的平面圖形？（小組交流）如果水平線段長4厘米，你能算出哪些圖形的面積？哪些圖形的周長？

這道練習題復習了小學數學中平面圖形的知識，引導學生構建了平面圖形的知識體系，發展了學生的創造性思維，其中的巧妙不言而喻。

四、 設計好促進反思性思維的問題

所謂反思性思維，是指個體對自己的認知過程及結果的監控、分析、評價和調節，它與元認知活動相近。如果說前述四種思維的對象來自外部世界，那么反思性思維的對象則是個體自身，其功能是促進學生的自我反思、自我評價、自我調節能力。顯然，設計這樣的問題從其教育功能上來看是與課程標準中問題解決的第四個具體目標相對應的，即有利于學生形成評價與反思的意識。

一般說來，有助于學生形成反思性思維的問題具有如下特征：它不針對具體的問題情境和內容，而是針對學生的認知過程。所以，教材中增加了“解決問題的策略”這一單元，其目的不僅在于讓學生會解決某一類問題，更重要的是讓學生經歷并體驗每一種策略的形成過程，獲得對策略內涵的認識與理解。策略教學不能直接傳遞，而是重在學生的體驗。因此，在解決問題的過程中教師要設計多層次的數學活動，引導學生不斷思考：“我運用了什么策略？”“為什么要用這個策略？”“這一策略的運用程序是否合理，是否簡捷？”“解決這一問題可用的策略是否是唯一，還有其他策略嗎？該如何優化？”“解決問題中出現了錯誤怎么辦？”……幫助學生把解決問題過程中的體驗進行整理、歸納，最終內化成自己的策略。

例如，六年級上冊的“解決問題的策略——替換”：

小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。小杯的容量是大杯的■。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

例題主要教學倍數關系的替換，在明確題意的基礎上，首先使學生產生使用替換策略的心理需求，然后引導學生經歷替換的具體過程，學習替換的方法，最后讓學生通過回顧與反思，著力思考“為什么要替換”、“替換的依據是什么”、“替換前后數量關系是怎樣變化的”等問題，感受替換的思考過程，更重要的是明確替換的價值在于使問題簡單化。這是一種重要的解題策略。

本文結合教材，分別介紹了具有不同思維促進功能的四類問題的設計。需要說明的是，在實際的教學設計中，所謂具有不同思維促進功能的問題只是相對而言的，同一問題可能兼具幾種此類功能，因此教師在設計問題時應盡可能綜合考慮。