掌握含絕對值不等式的解法提升學生解題才能

在實行新課程改革后，在高二數學選修4—5不等式選講中，有一類含絕對值不等式的解法是高考中一個很重要的知識點。這類題目如果學生掌握了基本的解題方法，就能提升解題才能，輕松獲得分數。現舉例說明如下：

例題1：已知函數f（x）=x-2+x+3，求不等式的解集f（x）>5。

解法一：∵x-2的零點為2，x+3的零點為-3，∴f（x）=x-2+x+3分為三段。

① 當x≤-3時，f（x）=-x+2+（-x-3）=-2x-1，由 f（x）>5，∴-2x-1>5，即x<-3。

∴解得x<-3。

② 當-3

而f（x）>5，∴x無解。

③ 當x≥2時，f（x）=x-2+x+3=2x+1，由f（x）>5，∴2x+1>5，即x>2。

∴解得x>2。

∴綜上所述不等式f（x）>5 的解集為{x|x<3或x>2}。

小結：一般地把f（x）=0的解叫做f（x）的零點。先分別求出零點，然后分類討論看零點把R分成了幾個區間，判斷正負從而去掉絕對值符號，分段展開再求解。這樣的解法“零點分段法”具有一般性。

解法二：利用絕對值的幾何意義

∵x-2的幾何意義是數軸上點x到點2的距離，x+3的幾何意義為數軸上點x到點-3的距離，即點x到點2的距離與點x到點-3的距離之和要大于5。∵數軸上點2與點-3間的距離為2-（-3）=5。∴數軸上的點x要位于點2與點-3的兩側，才能使距離之和大于5。 即f（x）>5的解集為{x|x<3或x>2}。

小結：利用絕對值的幾何意義來解題，可以減少運算量，使問題簡單化。

【變式訓練】

1. 解2 ≥2

分析：∵2 =2 ∴2 ≥2 ，底數a=2>1由指數函數的增減性，即轉化為求x-1-x+1≥ 的解集，而后按“零點分段法”或者利用絕對值的幾何意義進行求解。

【變式訓練】

2. 解log3x+log ≥1

分析：由真數大于0，兩邊有意義的范圍是0

例題2：關于x的不等式x+1+x-2≥a的解集是R，求a的取值范圍。

解法一：設f（x）=x+1+x-2，∴f（x）=x+1+x-2分為三段。

①當x≤1時，f（x）=-x-1+（-x+2）=-2x+1。

②當-1

③當x≥a時，f（x）=x+1+x-2=2x-1。

∴得到f（x）=x+1+x-2的最小值是3，∴從而a≤3，即a的取值范圍為{a|a≤3}。

解法二：由絕對值的幾何意義，得到f（x）=x+1+x-2的最小值是-1-2=3，從而a的取值范圍為{a|a≤3}。

小結：求類似a的取值范圍時，當含有絕對值的不等式f（x）大于一個數時，利用“零點分段法”或絕對值的幾何意義求出f（x）的最小值，令a小于這個最小值即可；當含有絕對值的不等式f（x）小于一個數時，求出f（x）的最大值，令a大于這個最大值即可。

【變式訓練】

3：關于x的不等式x+1+x-2

分析：設f（x）=x+1+x-2，利用“零點分段法”或絕對值的幾何意義求出f（x）的最大值，令a大于這個最大值即可。

總之，做題要進行題后反思，總結一下所用公式、解題思路、方法，逐漸構建出自己的知識體系，提升自身解題才能，下次遇到類似的題目就會事半功倍。

（西藏拉薩市第二高級中學）