解決“粗心”現(xiàn)象提高學生數(shù)學解題能力

初中數(shù)學教學中，筆者發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象：有些學生掌握了相關(guān)知識，也明確解題原理，卻往往在解題過程中或得出解題結(jié)果時出現(xiàn)各種大大小小的問題。很多學生反映，他們會解題，但不知道為什么總是解錯題，這種現(xiàn)象被歸因為“粗心”?，F(xiàn)代認知心理學則啟示我們：當學生缺乏某種能力，存在解題能力障礙時，首先應到學生大腦中查找其知識結(jié)構(gòu)是否完整。其實，學生在解題過程中的“粗心”，只是一種錯題的表面現(xiàn)象，錯題的根本原因?qū)嶋H上是學生大腦中的知識結(jié)構(gòu)存在缺陷。

只有具備完整的知識體系，才能具備解題的相應能力。皮連生教授在《智育概論》中指出：人類大腦里的知識結(jié)構(gòu)包括：陳述性知識、程序性知識和策略性知識。陳述性知識是關(guān)于是什么、什么樣的知識，是客觀事實的陳述，可以理解為題中所給出的已知性條件，或是解題時所需要的定義、公式、原理等知識。例如“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”“兩直線平行，同位角相等”等等。程序性知識是關(guān)于“怎么辦”的操作性知識，可以理解為解題思路，屬于內(nèi)部的思維活動。策略性知識是程序性知識的一種特殊化形式，是監(jiān)督、指導學生內(nèi)部思維活動的知識。程序性知識和策略性知識經(jīng)常綜合在一起理解，即解題過程中的方法、策略等知識。例如在解方程類型的題目時，學生一邊解題一邊提醒自己：“要注意驗證x的取值范圍，防止漏解或多解。”

一、陳述性知識缺陷對解題能力的影響

在數(shù)學學科中，陳述性知識可表現(xiàn)為多種形式，如題中所給出的條件、要求，解題所涉及的概念、公式原理等。解題過程中缺少忽視相關(guān)的陳述性知識，會導致解題錯誤。

例如2011年中考試題29題：已知二次函數(shù)y=a（x2-6x+8）（a>0）的圖像與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C.點D是拋物線的頂點。

問題：如圖（1），連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O'恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數(shù)a的值。學生在處理本題時，其錯誤原因主要有以下幾種。

（1）概念、公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識掌握不扎實。有些同學對二次函數(shù)y=a（x2-6x+8）（a>0）的解析式不會整理變形， 即對二次函數(shù)的幾種表達式不會靈活運用。如果將原二次函數(shù)通過分解因式表示為y=a（x-2）（x-4），就能馬上知道其圖像與x軸的交點坐標為A（2，0），B（4，0）。這種錯題的原因是學生大腦中缺少相對應的因式分解知識及相應的二次函數(shù)一般式、頂點式、兩點式之間的聯(lián)系的知識。當然，本題也可直接令y=0，通過二次函數(shù)結(jié)合二次方程來處理。另外，當題中二次函數(shù)與坐標軸的交點及二次函數(shù)的對稱軸都已經(jīng)能表示出來時，有的同學不能結(jié)合圖形，很快地發(fā)現(xiàn)圖中有300角的直角三角形，從而加大了題目的運算量，造成了計算上的錯誤及時間上的浪費。這說明學生對300角的直角三角形的性質(zhì)不夠熟練。一些公式、概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的扎實掌握至關(guān)重要，只有理解后熟記，才能又快又準確地解題。

（2）對題中所給的條件不理解或?qū)忣}重視不夠。有些學生對題目中隱含的條件（如“a>0”）不加以挖掘，就談不上是否吃透了題目的條件與要求；對題中“△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O'恰好落在該拋物線的對稱軸上”理解有些困難。對于學生而言，要求其掌握的是幾何部分中基本圖形的基本性質(zhì)及其相互關(guān)系，通過考察圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱及翻折的基本性質(zhì)，進一步豐富對空間圖形的認識和感受，欣賞并體驗圖形的變換在現(xiàn)實生活中的應用。學生若聯(lián)想一下所做過的這類翻折題型的通常用的解決方式，如翻折前與翻折后的“變與不變”， 翻折中重視兩個三角形全等條件的探索，就不難推測此處問法的含義。由此可以推測，學生對這類翻折題型的理解不夠透徹，翻折的條件不會加以轉(zhuǎn)化運用；對通過運用坐標系確定物體位置的方法、發(fā)展空間觀念掌握得不扎實。

上述的幾種錯誤，無論是對題中所給條件理解有困難，還是對相關(guān)公式不能靈活運用，又或是對性質(zhì)、定理理解不透徹，歸根結(jié)底都屬于知識結(jié)構(gòu)有缺陷，即陳述性知識有缺陷。在教學中，這種陳述性知識的缺陷往往被忽視。部分教師只看到學生對概念、公式、定理等背誦得熟練，就認為他們已經(jīng)很好地掌握了這些知識，事實并非如此。若要判定學生是否真正掌握了這些基礎(chǔ)知識，關(guān)鍵是看他們對這些概念、公式等能否靈活運用，能否有邏輯地把解題所需要的條件組織起來。教師應指導學生把知識和運用有機地結(jié)合起來。

二、程序性和策略性知識缺陷對解題能力的影響

學生的大腦中儲存了與解題相關(guān)的公式、性質(zhì)、定理等陳述性知識，卻仍不會解題或做錯題，主要是因為學生大腦中的陳述性知識多，而程序性和策略性知識比較少。策略性知識是特殊形式的程序性知識，有時區(qū)別并不明顯，可以綜合在一起理解，統(tǒng)稱為答題方法或策略。程序性知識是關(guān)于“怎么辦”的知識，經(jīng)常以“如果……那么……”的形式出現(xiàn)。下面，是筆者平時給同學歸納的一些解題策略。

在因式分解時，如果是兩項式，那么可以考慮用平方差來處理；如果是三項式，那么可以考慮用完全平方公式或十字相乘來處理；如果是一些有特點的代數(shù)式，那么在對其化簡變形過程中，可作下列等價轉(zhuǎn)化處理：見到a2（或ab），可轉(zhuǎn)化為面積；見到a3（abc），可轉(zhuǎn)化為體積；見到■，可轉(zhuǎn)化為勾股定理；見到根式■=■或絕對值，可轉(zhuǎn)化為距離等等。

再如下例：小玲觀察圖（3），得出“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等”這個結(jié)論，你是否認同小玲的觀點？如果認同，則給出證明；如果不認同，則畫出所有可能的情況，猜想相應的結(jié)論，并給出證明。

首先，學生在所給圖形中，直觀上得出的是兩個孤立的角，其并沒有直接聯(lián)系，所以就沒有聯(lián)系到“兩直線平行，同位角相等”這個陳述性知識，就談不上去解決后面的問題。其次，即使有同學通過添加輔助線，通過延長其中一個角的邊，從而和另一個角的邊相交而形成了同位角，解決了這兩個角相等的問題，也只能說明該同學的大腦中具備相應的陳述性知識，但沒有注意到本題的多解性，沒有能夠通過自己畫出圖形去分析其他的情況，忽略了這兩個角也可以是互補的關(guān)系。說明學生在運算中沒能運用相關(guān)策略指導、監(jiān)督自己的分析及運算過程，缺少理性思考，即缺少必要的程述性和策略性知識，自然容易出現(xiàn)錯誤。

假如在學生做這種類型題前，聯(lián)想到教師給學生歸納出的答題策略：“在判斷角是否相等的關(guān)系時能不能利用到兩直線平行的性質(zhì)，在角相等的情況下由于鄰補角的關(guān)系，會不會出現(xiàn)多解性”，這樣就基本不會出現(xiàn)錯誤了。所以，學生大腦中只具備陳述性知識是不夠的，還要積累并儲存相關(guān)的程序性和策略性知識，可以指導、監(jiān)督內(nèi)部的思維活動，遇到不同的型題都可以理性地去分析、運算。

學生大腦中的知識結(jié)構(gòu)無論缺少哪一種知識，都會影響他們的解題效果和解題能力，而很多學生和家長以及個別教師由于看不到學生大腦中的知識結(jié)構(gòu)缺陷，就只能把這種“會解題卻解錯題”的矛盾現(xiàn)象解釋為“粗心”。我們應該透過現(xiàn)象去看本質(zhì)，從學生的知識結(jié)構(gòu)入手進行分析，診斷學生的大腦中缺少哪一類知識，不同類型的知識缺陷，影響著學生不同的解題能力。教師傳授給學生知識的同時，應注意知識的分類以及各類知識在學生大腦中的有序排列，學生不僅要掌握必要的基礎(chǔ)知識，還要掌握與解題相關(guān)的技巧、方法。只有構(gòu)建合理、完善的知識結(jié)構(gòu)，才能提高學生的解題能力，從根本上解決學生的“粗心”現(xiàn)象。