做好解題后的反思培養學生解決問題的才能

在教學過程中，我們往往只重視問題的解決而忽視問題的發現，其實發現問題與解決問題是思維的兩個互逆的過程，兩者缺一不可。著名科學家愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都需要有創造性的想象力。”因此，在做題時，不僅要多動腦筋、勤于思考，不僅要懂得如何處理問題、解決問題，還要懂得如何發現新問題、提出新問題。那么如何去培養學生發現新問題、提出新問題呢？我們不妨從解題后的反思開始做起。

所謂解題后的反思實際是解題學習的信息反饋調控階段，是一個解題學習的強化過程，一個增加解題的可供聯想儲備信息的過程。通過反思，有利于學生進行深層次的建構。我們在課堂教學中讓學生對例題、習題進行反思，目的就是給他們以總結、探索、發現、發展的空間。因此，這就需要我們創設問題情境，讓學生大膽地發現問題，培養學生反思的習慣，這樣不僅能加深概念、定理、公式等基礎知識的理解與掌握，更重要的是能開發學生的智力，培養學生發現問題的才能。

一、反思解題方法，培養思維的全面性

解完一道題后，引導學生能否根據該題的基本特點與條件，進行多角度、全方位的觀察、思考，尋求更多的解題方法，這有助于培養學生思維的全面性。

例1 已知二次函數的圖像經過點（0，0），（2，0），且函數的最大值為1，求這個二次函數的關系式。

解：二次函數圖像經過原點，可設其函數的關系式為y=ax2+bx（a≠0），

則依題意有4a+2b=0

=1，解之，得a=-1

b=2。

∴這個函數的關系式為y=x2+2x。

反思：上面的解法是設二次函數的一般式，我們知道二次函數有三種形式，能否用另外兩種形式來求出此函數的解析式呢？

由圖像經過點（0，0），（2，0）知二次函數的圖像的對稱軸為x=1，又因為函數的最大值為1，所以得知圖像的頂點坐標為（1，1），可得出a的值。

另解1：設y=a（x-1）2+1=-x2+2x，則由圖像過點（2，0）得0=a（2-1）2+1解之，得a=-1。

∴函數的關系式為y=-（x-1）2+1=-x2+2x。

再進一步分析由圖像經過點（0，0），（2，0）知，二次函數的圖像與x軸有兩個交點。

另解2：設y=ax（x-2）=ax2（a≠0），又函數的最大值為1，∴=1。解之，得a=-1。

∴函數個關系式為y=-x2+2x。

二、反思解題過程，培養思維的概括性

解完一道題后，引導學生認真分析解題過程有沒有思維回路，哪些過程可以合并或轉換，能否從其他的角度重新審視題目，得出更加簡捷漂亮的解法，這樣的反思，有助于培養學生思維的概括性。

例2 已知 x1，x2是方程2x2-3x+1=0的兩根，求（x1+1）（x2+1）的值。

在解此題時，不少學生是利用求根公式法求解，然后代入計算，解法如下：

解： ∵a=2，b=-3，c=1，∴b2-4ac

=9-8=1，∴x==，∴ x1=1，x2 =，∴（x1+1）（x2+1）=（1+1）（+1）=3。

反思：上面的求解過程中，實質上是先解出方程，再代入計算，較麻煩，若我們根據題意，利用根與系數關系，則可得如下的較優的解法。

解：∵x1+x2=-=，x1×x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=++1=3。

三、反思題目特征，培養思維的深刻性

解完一道題后，引導學生通過反思題目特征，加深對題目特征的本質領悟，從而獲得一系列的思維成果，這有助于培養學生思維的深刻性。

例3 順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是（ ）。

A.平行四邊形 B.矩形

C.菱形 D.正方形

解：通過圖形觀察，利用三角形中位線的性質：“三角形兩邊中點的連線平行于第三邊且等于第三邊的一半” ，得出平行四邊形。再根據平行線的性質，得出有一個角是直角，從而得出有一個角是直角的平行四邊形是矩形，答案是B。

反思：在本題中，三角形中位線的性質對答案起著重要的作用，因此無論怎樣改變題目條件，都可以用三角形中位線的性質來解決，如：

①順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是（ ）。

②順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是 （ ）。

③順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是 （ ）。

④順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是（ ）。

⑤順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是（ ）。

四、反思題目結論，培養思維的創造性

在解完一道題后，教師可讓學生與已有的結論進行對比分析，引導他們對數學命題進行變形或深化推廣以及引申創新，進行多角度、多方面的發散思考，這樣的反思有助于培養學生思維的創造性。

例4 如圖1，平行四邊形ABCD中，∠BAD、∠BCD的平分線分別交BC、AD于點E、F。求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

分析：要證明四邊形AFCE是平行四邊形，由于AF、CE是平行四邊形ABCD邊AD、BC上的一部分，它們的對邊平行，因此，只要證明另一組對邊平行即可。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，即AF∥EC，

∴∠BCF=∠CFD（兩直線平行，內錯角相等）。

又∵AE、CF分別平分∠BAD、∠BCD， ∴∠FAE=∠BAD，∠BCF=∠BCD，∴∠FAE=∠BCF，∴∠FAE =∠CFD，∴CF∥AE（同位角相等，兩直線平行）。

∴四邊形AFCE是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）。

反思：此題的證法很多，我們還可以通過證明“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”等。不管選用那一種證法，一定要認真分析已知條件，弄清已經知道了什么？還需要什么？這樣才能確定解題的思路和方向。

變形1：如圖2，在平行四邊形ABCD中， AE、CF分別是∠MAD、∠BCN的平分線。求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變形2：如圖3，在平行四邊形ABCD中， AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且分別交BA、DC的延長線于點M、N。求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變形3：如圖4，在平行四邊形ABCD中，AD=BC

=6cm，動點E由C向B以2cm/s的速度移動，動點F由D向A以1cm/s的速度移動，E、F分別由C、D同時出發，問幾秒鐘后，四邊形AFCE是平行四邊形？

分析：盡管E、F在不斷移動，且四邊形AFCE的形狀也在不斷變化，但其中也有不變因素，那就是CE∥FA。在此基礎上，只需CE=FA即可，而這與E、F移動的時間有關，這樣就將四邊形AFCE的形狀與時間聯系起來了。

解：設x秒鐘后四邊形AFCE是平行四邊形。在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，即CE∥FA，當CE=FA時，四邊形AFCE是平行四邊形。由題意得：6-x=2x，解得x=2。故經過2秒鐘后四邊形AFCE是平行四邊形。

總之，教師引導學生進行解題后的反思，能培養學生的思維品質。這就要求教師在教學中要認真反思教材，把蘊藏其中的那些隱含的問題挖掘出來，并積極注意學生的發問，有計劃、有目的、有意識地引導學生進行解題后的反思，從而提高學生發現問題、分析問題及解決問題的能力。

（江蘇省邳州市八義集初中）