高中復合函數探究

復合函數是高中數學的一個非常重要的概念，雖然在人教A、B版本（必修）中都沒有涉及，但是在課本中卻又出現了不少與復合函數有關的問題，高考更是考查的熱點和難點。結合自己平時教學的實際，個人認為應該在學生學習必修1第二章《基本初等函數Ⅰ》后，給學生補充上復合函數的概念。

一、 概念

（1）基本初等函數。高中課本主要指：一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數。

（2）復合函數的定義。一般來說，如果y是u的函數，而u又是x的函數，即y=f（u），u=g（x）， 那么y關于x的函數y=f[g（x）]叫作由y=f（x）及u=g（x）復合而成的復合函數。其中u叫作中間變量，f稱為外層函數，g稱為內層函數。例如：f（x）=x2+2x+1，g（x）=3x，復合函數f[g（x）]即把f（x）里的x替換成g（x），所以f[g（x）]=（g（x））2+2g（x）+1=（3x）2+2·3x+1。即外層函數里套著內層函數，通俗點說就是一個初等函數（二次函數）里面套著另外一個初等函數（指數函數），但要注意的是絕不是兩個初等函數的相乘或相除。再如：y=log2（x2+4x+6）是由y=log2 u，及u=x2+4x+6復合而成的。在此，要讓學生分清兩點：①該函數到底是不是復合函數。②函數到底是由哪兩個初等函數復合而成。這是以后學習選修部分求導的基礎。

二、 幾類常見問題

（1）復合函數的定義域。函數的定義域是指函數的對應關系中的原象的集合，即自變量x的取值范圍，在求復合函數的定義域時要注意定義域一定是求x的取值范圍。例1 ：若函數y=f（2x）的定義域是[-1，1]，則y=f（x）的定義域為_______。解析：由-1x1?-22x2，知y=f（x）的定義域是[-2，2]。很多資料都是從內外層函數的角度去解析的，這適用于理解能力很好的學生。我認為，把握好三點，就能解決這類“抽象函數定義域”問題：①定義域一定是指x的取值范圍，②括號的范圍是相同的，③此處的兩個x不是同一個。

（2）復合函數的解析式。例2：已知二次函數f（x）滿足f（2x+1）=4x2+4x+5，求f（x）。解析：本題可用待定系數法、拼湊法、換元法。其中換元法更具有一般性。令t=2x+1，則x=，∴f（t）=4·（）2+4·+5=t2+4，∴f（x）=x2+4，同時要注意定義域問題。

（3）復合函數的值域。復合函數的值域與一般函數的值域求法基本一致，主要的思想是換元法，通過換元把不會的問題轉化為我們熟悉的求基本初等函數的值域問題，當然，此處還是要特別注意定義域優先的原則和換元要求出新元（引進參數）的范圍。例3：求函數f（x）=log2（8x）·log（），x[，8]的值域。解析：f（x）=log2（8x）·log（）=（log2x+3）·（log2x-2）=（log2x）2+log2x-6，換元令t=log2x，則t[-1，4]，轉化為二次函數y=t2+t-6在閉區間[-1，4]求值域問題，易得y[-，14]，注意換元要求出新元的范圍。例4：求函數y=（）x2+2x+2的值域。解析：換元令t=x2+2x+2=（x+1）2+11，轉化為求指數函數y=（）'t，t1值域問題，易得：y（0，]，注意指數函數本身值域范圍（0，+∞）。

（4）復合函數的單調性。關于復合函數的單調性，我們遵循同增異減的原則，即：y=f（u）與u=g（x）增減性相同，則y=f[g（x）]是增函數，y=f（u）與u=g（x）增減性相反，則y=f[g（x）]是減函數。例5：求函數y=log（4x-x2）的單調增區間。解析：首先求出函數的定義域4x-x2>0?0

總之，高中數學《必修I》對復合函數的教學不能忽視，但是也不能挖掘太深，主要掌握好如何分清內外層函數，比較簡單的定義域、解析式、值域、單調區間問題即可。這樣，既能為后面選修學習復合函數的求導打下良好的基礎，又能深刻理解函數概念。